§ 4.4. Тепловые напряжения в диске и цилиндре при плоском неосесимметричном стационарном температурном поле

Пусть под действием плоского стационарного неосесимметричного температурного поля в тонком круглом диске с центральным отверстием возникает плоское неосесимметричное напряженное состояние. Диск предполагаем свободным от

поверхностных сил на внутреннем и наружном контурах. Рассмотрим решение этой задачи, используя ее постановку в напряжениях (§ 4.2).

Температурное поле, удовлетворяющее уравнению Лапласа в полярных координатах

представляем в виде ряда Фурье

где коэффициенты являются решениями уравнений

в соответствии с выражением (4.4.1) для температурного поля выбираем решение для функции напряжений в виде

На основании результатов § 4.2, где для рассматриваемого случая следует учесть, что функция напряжений должна удовлетворять следующим соотношением: дифференциальному уравнению

граничным условиям

условиям однозначности для перемещений и угла поворота

Подставляя выражения (4.4.2), (4.4.3) и (4.4.4) в уравнения (4.4.5) — (4.4.8), получаем следующие соотношения:

дифференциальное уравнение для

граничные условия для

условия однозначности для на контуре

Аналогичным образом находим соответствующие уравнения для

При составлении условий однозначности (4.4.13) и (4.4.14) используются свойства ортогональности тригонометрических функций.

Рассматривая условия (4.4.13) и (4.4.14), замечаем, что они возникают только для функций и а следовательно, и для функции для функций и условия однозначности удовлетворяются автоматически.

В связи с нулевыми граничными условиями (4.4.12) для функций заключаем, что

Отсюда можно сделать вывод о том, что тепловые напряжения вызываются только стационарным температурным полем

при этом они отвечают следующей форме решения для функции напряжений:

Отсутствие тепловых напряжений, соответствующих температурным полям вида может быть легко объяснено с помощью аналогии между плоской задачей термоупругости и задачей изотермической теории упругости с дислокациями.

Рассматривая уравнения (4.2.16) и учитывая равенства замечаем, что в ненагретом диске с центральным отверстием отсутствуют дислокации, эквивалентные температурным членам, содержащим гармоники с и поэтому не возникают и соответствующие напряжения

Определим тепловые напряжения и отвечающие соответственно температурным полям

Решения для функций удовлетворяющих дифференциальному уравнению (4.4.3), имеют вид

где постоянные, определяемые из граничных условий соответствующей задачи теплопроводности.

Заметим, что температурные поля и тепловых напряжений не вызывают.

Тепловые напряжения при осесимметричном температурном поле (4.4.18) можно было бы определить с помощью непосредственной подстановки в формулы (4.3.5) вместо выражения (4.4.18) для функции В целях иллюстрации метода приводим решение для тепловых напряжений используя постановку плоской задачи термоупругости в напряжениях.

Решение уравнения (4.4.10) при принимает, вид

Для определения пяти постоянных и имеем пять уравнений: два граничных условия (4.4.11), два из граничных условий (4.4.12) и одно условие однозначности (4.4.14). Постоянные и 7, не влияют на величину напряжений. Определяя постоянные

и подставляя их в выражения для напряжений, вычисленных формулам (4.1.38), находим

Аналогичным способом определяем тепловые напряжения .

При решением уравнения (4.4.10) является выражение

Для определения постоянных интегрирования, входящих в выражение для функции напряжений составляем систему пяти уравнений относительно пяти неизвестных постоянных С], используя два граничных условия (4.4.11), два из граничных условий (4.4.12) и условие однозначности (4.4.13):

Так как постоянные не влияют на распределение напряжений, то в дополнение к постоянной имеющей значение (4.4.25), из системы (4.4.24) определяем

Выражая тепловые напряжения с помощью формул (4.1.38) через функцию напряжений где определяется выражением (4.4.23), и подставляя в полученные выражения значения постоянных интегрирования (4.4.25) и (4.4.26), получаем окончательный результат в виде

Заменяя в формулах (4.4.27) величины на получаем формулы для тепловых напряжений в длинном полом цилиндре, находящемся в состоянии плоской деформации под действием плоского стационарного температурного поля

Полные тепловые напряжения, возникающие в тонком круглом диске с центральным отверстием и в длинном полом цилиндре при стационарном температурном поле определяются выражениями

в случае плоской деформации к этим напряжениям добавляются осевые тепловые напряжения, вычисляемые по формуле (4.1.2).

Рассмотренная в настоящем параграфе задача явилась предметом исследования ряда авторов. Впервые решение этой задачи с помощью метода, основанного на исследовании вспомогательной задачи о дислокации цилиндра и применении теории функций комплексного переменного, получено Н. И. Мусхелишвили [33, 34]. Позже метод, использующий теорию функций комплексного переменного, был применен для исследования указанной задачи Гейтвудом [5].

Решение аналогичной задачи дано Меланом и Паркусом без использования функций комплексного переменного; в их методе применяется комбинация термоупругого потенциала перемещений и функции напряжений [31].

Приведенный здесь метод решения позаимствован из книги [54].