§ 6.3. Тепловые напряжения в полой сфере

Исследуем термонапряженное состояние полой сферы под действием осесимметричного температурного поля Предполагаем, что сфера свободно деформируется; при этом внутренняя и наружная поверхности ее свободны от внешней нагрузки (рис. 25).

Определим сначала частное решение уравнения (6.1.19) для термоупругого потенциала перемещений

Однородное уравнение, соответствующее уравнению (6.1.19), является уравнением Лапласа в сферических координатах; его решение, как известно, находится методом разделения переменных в виде суммы слагаемых

где целое число (положительное или отрицательное); полином Лежандра порядка. является решением уравнения [46]

Для целочисленных значений полиномы Лежандра образуют полную ортогональную систему функций в интервале О так что

Рис. 25.

В анализе доказывается [22], что разложение функций в ряд по полиномам Лежандра обладает теми же свойствами, что и разложение функций в ряд Фурье. Для построения частного решения уравнения (6.1.19) представим температуру в виде ряда по полиномам Лежандра

Коэффициенты разложения находятся по формуле

Частное решение уравнения (6.1.19) ищем в виде ряда

Подставляя разложения (6.3.3) и (6.3.5) в уравнение (6.1.19) и используя уравнение (6.3.1), получаем следующее уравнение для определения неизвестных функций

Так как общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (6.3.6), имеет постоянные интегрирования), то частное решение неоднородного уравнения (6.3.6), найденное методом вариации произвольных постоянных, можно представить выражением

В случае стационарного теплообмена без источников тепла выражение для температурного поля, являющееся решением уравнения Лапласа в сферических координатах, имеет выражение

где коэффициенты и предполагаются известными; они определяются в каждом конкретном случае на основании заданных условий теплообмена.

Частное решение для в этом случае приобретает вид

Зная частное решение (6.3.5) для термоупругого потенциала перемещений по формулам (6.1.27) и (6.1.29) определим соответствующие частные решения для компонентов тензора деформации и тензора напряжения; при этом используем уравнение (6.3.1).

Ниже приводим результаты вычислений для компонентов тензора напряжений в случае температурного поля (6.3.3):

в случае стационарного температурного поля (6.3.8):

Для сплошной сферы в выражениях (6.3.11) следует положить а для пространства со сферической полостью —

Переходим к определению решений . Для этого сначала найдем функции и входящие в систему уравнений (6.1.21) относительно функций Эти функции являются решениями уравнений (6.1.22) и (6.1.23).

Методом разделения переменных решение уравнения (6.1.22) представляется в виде суммы слагаемых

а решение уравнения (6.1.23) — в виде суммы слагаемых

Постоянные не могут быть независимыми, так как связаны уравнениями (6.1.20).

Подставляя выражения для в эти уравнения, находим

Заменяя теперь в уравнениях (6.1.21) функции выражениями (6.3.12) и (6.3.13) и принимая во внимание

равенство (6.3.14), для определения и получаем следующую систему уравнений:

Частное решение этой системы уравнений представляется в виде

где введены новые постоянные интегрирования по формуле

Из-за функционального произвола, существующего в решении (6.1.18), общее решение системы уравнений (6.3.15) не используется; соответствующая часть решения может быть охвачена функцией Эту функцию представляем в виде суммы слагаемых

Подставляя выражения (6.3.16) и (6.3.17) для функций в формулы (6.1.18) и суммируя по целочисленным от до с учетом рекуррентной зависимости для полиномов Лежандра получаем

Здесь введены постоянные

Применяя далее формулы (6.1.28) и (6.1.30), вычисляем напряжения

(см. скан)

Для определения постоянных интегрирования используем условия отсутствия напряжений на внутренней и наружной поверхностях сферы

Остановимся отдельно на случаях

Для и согласно (6.3.11) и остальные напряжения являются функциями только радиуса при этом Из четырех постоянных интегрирования остаются только две: Для их определения получаем систему двух алгебраических уравнений

откуда

Определяя в случае стационарного температурного поля по формуле (6.3.9)

получаем напряжения

Рассмотрим решение для сплошной сферы, когда температурное поле обладает центральной симметрией. На основании формул (6.3.6) и (6.3.10) находим

где средняя температура сферы радиуса Добавляя к решениям (6.3.24) выражение равномерного напряженного состояния

получаем известное решение термоупругой задачи для сплошной сферы в случае центральной симметрии при отсутствии напряжений на ее поверхности [41]:

в случае коэффициенты при постоянной в равенствах (6.3.19) обращаются в нуль, и для определения оставшихся трех постоянных имеем систему четырех алгебраических уравнений

Для существования решения системы уравнений (6.3.26) необходимо, чтобы определитель четвертого порядка, составленный из ее коэффициентов и правых частей, был равен нулю. В рассматриваемом случае он оказывается

и, как следует из выражений для правых частей (6.3.26), действительно обращается в нуль.

Заметим, что существование решения системы уравнений (6.3.26) становится очевидным, если положить система четырех уравнений (6.3.26) при этом превращается в систему двух уравнений относительно постоянных

Решение системы уравнений (6.3.26) записывается в виде

Можно показать, что определитель системы четырех алгебраических уравнений для каждого отличен от нуля.

Таким образом, задача термоупругости для осесимметрично деформированной сферы может считаться решенной. Эта задача рассматривалась рядом авторов [66, 68].