Глава седьмая. Динамические и связанные задачи термоупругости

§ 7.1. Общие замечания

Если условия нестационарного теплообмена таковы, что скорость изменения температуры во времени весьма велика, то при исследовании тепловых напряжений в конструкциях следует учитывать динамические эффекты, обусловленные движением частиц твердого тела при быстром тепловом расширении. В этом случае возникает динамическая задача термоупругости.

Динамическая задача термоупругости в перемещениях сводится к решению первого из уравнений (1.6.8), в котором температурное поле Т предполагается известным из решения соответствующей нестационарной задачи теплопроводности (глава третья). Для получения общего решения этого уравнения в форме (1.6.9) требуется исследование волновых уравнений (1.6.14) и (1.6.15).

Здесь ограничимся рассмотрением простейших динамических задач термоупругости, связанных с оценкой динамических эффектов в одномерных задачах нестационарного теплообмена, — задач о тепловом ударе на поверхности полупространства (§ 7.2) и на поверхности прямоугольной пластины (§ 7.3). Исследования этих и других аналогичных динамических задач термоупругости, приведенные в книге [41] и др., показывают, что значительные динамические эффекты в конструкциях могут возникнуть лишь при мгновенном изменении температуры их поверхностей или окружающей среды.

Реально осуществимый быстро протекающий нестационарный теплообмен сопровождается изменением температуры в течение весьма малого, но всегда конечного интервала времени, при котором динамические эффекты существенно уменьшаются.

в связи с указанным установилось мнение, что при исследовании термонапряженности конструкций учет динамических напряжений, вообще говоря, практического значения не имеет и для определения тепловых напряжений в условиях нестационарного теплообмена возможно применение квазистатических решений. Тем не менее исследования динамических задач термоупругости нуждаются в дальнейшем развитии в связи с условиями работы новых конструкций, подвергающихся действию импульсивных теплопотоков; здесь важным является также изучение условий возникновения и распространения в конструкциях термоупругих волн напряжений.

В последнее время наметилось новое направление исследований задач термоупругости, учитывающее взаимодействие полей деформации и температуры [52, 58, 59].

Законы термодинамики гласят, что изменение деформаций упругого тела сопровождается изменением его температуры, при котором возникает теплопоток, приводящий в свою очередь к увеличению энтропии термодинамической системы, а, следовательно, к термоупругому рассеянию энергии. Этот процесс описывается системой дифференциальных уравнений (1.6.8).

Нахождение общего решения (1.6.9) системы дифференциальных уравнений (1.6.8) сводится к решению уравнения (1.6.13) относительно скалярного потенциала и уравнения (1.6.11) относительно векторного потенциала А.

При изучении распространения безвихревых волн следует в решении (1.6.9) положить

Выбирая решение для функции в виде

находим для функции уравнение

где

В равенствах (7.1.3) введены следующие обозначения:

Если предположить, что термоупругая связь отсутствует а волны являются гармоническими с частотой то из уравнения (7.1.3) получаем

Следовательно, уравнением (7.1.2) описывается распространение двух видов волн расширения, из которых один, связанный с близок к чисто упругой волне, а другой, связанный с сходен по своему характеру с чисто тепловой волной.

На основании уравнений (7.1.1) и (7.1.2) общее решение уравнения (1.6.13) можно представить в виде

где удовлетворяет уравнению

Таким образом, при безвихревом движении общее решение связанной термоупругой задачи (1.6.9) в связи с уравнениями (7.1.6) и (1.6.10) принимает вид

Учитывая, что

и принимая во внимание формулу (7.1.9), получаем из соотношений (1.6.3) следующие решения для напряжений:

где символ Кронекера.

Для иллюстрации теории в § 7.4 рассматриваются плоские волны расширения в неограниченном сплошном теле.

Применение решения (1.6.9), учитывающего кроме потенциальной и соленоидальную часть, рассматривается в § 7.5 в связи с изучением влияния термоупругого рассеяния энергии на распространение продольных волн в бесконечно длинном сплошном цилиндре.