§ 5.8. Тепловые напряжения в сферической оболочке

В случае сферической оболочки

Разрешающее уравнение (5.5.11), взятое с верхним знаком перед для сферической оболочки принимает вид

где

Вводя новую переменную

вместо (5.8.1) получаем уравнение

Выполняя подстановки

переписываем уравнение (5.8.4) в виде

где

Соответствующее уравнению (5.8.6) однородное уравнение

является уравнением Гаусса, частные решения которого и определяются в гипергеометрических функциях. Используя теорию гипергеометрических функций находим следующие частные решения этого уравнения:

где гипергеометрическая функция. Здесь в качестве частного решения выбирается частное решение уравнения (5.8.9) в окрестности а в качестве частного решения частное решение этого уравнения в окрестности

Выделяя в решениях (5.8.10) и (5.8.11) особенности по известной формуле [15]

и учитывая подстановки (5.8.5) и значения параметров (5.8.7), находим общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (5.8.1)

где

Частные решения (5.8.14) и (5.8.15) имеют особенности соответственно в точках Для расчета замкнутой сферической оболочки с вершиной в точке или в точке следует пользоваться соответственно частным решением (5.8.14) или (5.8.15).

Зная два линейно независимых частных решения (5.8.10) и (5.8.11), с помощью метода вариации произвольных постоянных находим частное решение неоднородного уравнения (5.8.6), соответствующее свободному члену в следующем виде:

Здесь определитель Вронского решений и

где постоянная, равная значению при

Подставляя выражение (5.8.17) в решение (5.8.16) и учитывая подстановки (5.8.5), преобразование по формуле (5.8.12)

и значения параметров (5.8.7), находим следующее частное решение неоднородного уравнения (5.8.1), соответствующее температурному члену:

Заменяя в решении (5.8.18) через

получаем частное решение неоднородного уравнения соответствующее осевой силе (см. § 5.6).

Частное решение можно найти без квадратур следующим образом.

Вводя новую переменную и функцию по формулам

преобразуем уравнение (5.8.1), взятое при к виду

где

Для определения частного решения уравнения (5.8.20) используем следующие известные результаты теории гипергеометрических уравнений

Частное решение уравнения

когда имеет вид

Функция

определяется выражением

где

Функции (5.8.25) и (5.8.26) являются частными решениями гипергеометрического уравнения третьего порядка

у которого параметр

Принимая во внимание решение (5.8.24) и значения параметров (5.8.21), находим следующее частное решение неоднородного уравнения (5.8.20):

Наконец, учитывая зависимость

и подстановки (5.8.19), получаем частное решение неоднородного уравнения (5.8.1), соответствующее осевой силе в виде

На основании тождества окончательно получаем

Зная решение (5.6.1) для функции определяем решение для функции

где постоянная ко имеет значение (5.8.2). Необходимую для этого зависимость получаем, умножая уравнение (5.5.6) на ко и складывая его с уравнением (5.5.2).

В случае сферической оболочки имеем

Подставляя в уравнение (5.8.32) решение (5.8.13) и применяя формулы преобразования и дифференцирования для гипергеометрических функций [15], находим общее рещение однородного уравнения для функции

Разлагая решения (5.6.1) и (5.8.32) на действительные и мнимые части, находим решения для усилий и деформаций а затем по формулам (5.4.6) вычисляем решения для изгибающих моментов.

Необходимые для определения перемещений формулы составляем следующим образом.

Полагая в соотношениях (5.2.6) и и исключая в них перемещение и, находим

С помощью соотношений (5.4.2) и уравнения (5.5.2) определяем

Подставляя выражение (5.8.35) в (5.8.34), получаем

Зная перемещение и, из соотношения (5.2.6) находим

Заметим, что есть перемещение оболочки как жесткого тела в направлении ее оси.

Для определения частных решений однородных уравнений для всех усилий, моментов и перемещений в вещественных функциях полагаем

где — вещественные постоянные; вещественные функции, определяемые бесконечными рядами

Коэффициенты вычисляются с помощью рекуррентных формул

Разлагая решения (5.8.13) и (5.8.33) на действительные и мнимые части и принимая при этом во внимание выражения (5.8.38) и (5.8.39), находим частные решения , входящие в общие решения однородных уравнений

(см. скан)

Подставляя решения (5.8.43) в формулы (5.4.6), (5.8.36) и (5.8.37), взятые при находим

где

(см. скан)

Выполняя аналогичные разложения решений (5.8.18) и (5.8.30) и применяя затем формулы (5.4.6), (5.8.36) и (5.8.37), определяем частные решения неоднородных уравнений

которые необходимо добавить к общим решениям однородных уравнений (5.8.43) и (5.8.48), чтобы получить общие решения для усилий деформаций изгибающих моментов и перемещений

Для определения частных решений, отвечающих чисто тепловым деформациям в вещественных функциях ограничимся случаем, когда температурное поле изменяется только по толщине оболочки. В этом случае и соответствующий свободный член в уравнении (5.8.1) отсутствует. Тогда и на основании формулы (5.8.32), взятой при Учитывая эти равенства и применяя формулы (5.4.6), (5.8.36) и (5.8.37), находим

Разделяя выражения (5.8.30) и (5.8.32) на действительные и мнимые части, в связи с формулами (5.5.10), (5.8.31) определяем

Применяя затем формулы (5.4.6), (5.8.36) и (5.8.37), находим

Зная частные решения для по формулам (5.4.2) и (5.5.1) находим соответствующие частные решения для Используя частные решения для усилий изгибающих моментов деформаций и перемещений и удовлетворяя необходимым граничным условиям, рассмотренным в § 5.6, определяем постоянные интегрирования входящие в решения (5.8.43), (5.8.48) и (5.8.53). После этого решение задачи термоупругости для сферической оболочки, находящейся в осесимметричном температурном поле, может считаться законченным.