§ 1.5. Термодинамические функции. Уравнения состояния. Уравнение теплопроводности

Для исследования термодинамики деформирования, кроме плотности внутренней энергии и плотности энтропии вводятся следующие термодинамические функции: плотность свободной энергии

и плотность термодинамического потенциала Гиббса

Функции являются функциями состояния; изменения этих функций при изменении состояния упругого тела являются полными дифференциалами. Эти функции называются термодинамическими потенциалами.

Исходя из выражения для полного дифференциала плотности внутренней энергии

находим с помощью уравнений (1.5.1) и (1.5.2)

Так как являются полными дифференциалами, то

Знание хотя бы одного термодинамического потенциала позволяет определить все термодинамические параметры (абсолютную температуру, тензор напряжения, тензор деформации, энтропию).

Напомним физический смысл введенных термодинамических потенциалов.

Как видно из уравнений (1.5.3) и (1.5.4), для изотермических процессов работа деформации совершается за счет изменения свободной энергии подобно тому, как при адиабатическом процессе работа деформации происходит за счет изменения внутренней энергии

Из уравнений (1.5.4) и (1.5.5) следует, что при изотермическом процессе дополнительная работа, совершаемая упругим телом, равна возрастанию термодинамического потенциала Гиббса, тогда как при этом же процессе работа упругого тела равна уменьшению свободной энергии.

Для установления соотношений между напряжениями и деформациями необходимо составить выражение для плотности свободной энергии как функции компонентов тензора деформации и температуры

Учитывая малость деформаций и предполагая, что чисто тепловая деформация, отвечающая разности температур температура тела в ненапряженном состоянии), является величиной одного порядка малости по сравнению с сохраняем в разложении в ряд относительно параметров и лишь члены второго порядка малости: квадратичные члены для компонентов деформации гц и члены, являющиеся произведениями на чисто тепловую деформацию.

Плотность свободной энергии как скалярная величина не зависит от принятой системы координат и определяется через инварианты тензора деформации и температуру.

Из тензорной алгебры известно, что из компонент симметричного тензора деформации может быть образован один линейный инвариант и два инварианта второй степени Указанному отвечает следующее выражение для плотности свободной энергии [20]:

где постоянные величины; функция

На основании формул (1.5.7) находим плотность энтропии

и соотношения между напряжениями и деформациями

При дифференцировании по принимаем во внимание, что где символ Кронекера.

В соотношениях (1.5.11) величины и являются известными коэффициентами Ляме для изотермической деформации.

Полагая в соотношениях находим относительное изменение объема (первый инвариант тензора деформации)

где учитываем, что

Приравнивая в уравнении (1.5.12) о; нулю, получаем относительное изменение объема при свободном тепловом расширении.

Следовательно, величина а, введенная в выражение (1.5.9), является коэффициентом линейного теплового расширения.

Подставляя выражение (1.5.12) для в соотношение (1.5.11) и определяя из него находим соотношения между

деформациями и напряжениями в виде

где модуль упругости и коэффициент Пуассона связаны с коэффициентами Ляме следующими зависимостями:

Рассматривая соотношения (1.5.13), видим, что полная деформация в каждой точке упругого тела складывается из двух частей:

1) деформации

возникающей как от действия внешних сил, так и от действия тех напряжений, которые необходимо приложить для обеспечения сплошности тела при его неравномерном нагреве; эта деформация связана с напряжением обычным соотношением, вытекающим из обобщенного закона Гука;

2) деформации

отвечающей свободному тепловому расширению упругого тела при повышении его температуры на эта деформация для термически изотропного тела является шаровым тензором.

Зная по формуле (1.5.2) определяем плотность термодинамического потенциала Гиббса. Заменяя в этой формуле и гц их выражениями (1.5.9) и (1.5.13), находим

Применяя первую из формул (1.5.8), находим другое выражение для плотности энтропии:

С помощью выражений (1.5.10) и (1.5.18) для плотности энтропии можно определить удельные объемные теплоемкости при постоянном тензоре деформации и постоянном тензоре

напряжения . Вычисляя в соответствии с определением теплоемкостей эти величины по формулам

находим

Будем понимать под теплоемкостью с теплоемкость при отсутствии деформаций. Тогда, используя первую Из формул (1.5.19), находим

где постоянные интегрирования выбираем из условия при

В дальнейшем предполагаем, что теплоемкость с и коэффициент теплопроводности не зависят от температуры.

Выражение (1.5.10) для плотности энтропии после подстановки зависимости (1.5.21) для функции принимает вид

Теперь в дополнение к известным уравнениям линейной теории упругости (§ 1.2) и соотношениям между напряжениями и деформациями (1.5.11) или (1.5.13) можно получить уравнение теплопроводности.

Подставляя в уравнение (1.4.3) вместо плотности теплового потока и плотности энтропии их выражения (1.4.4) и (1.5.22) и учитывая, что на основании (1.5.20)

находим следующее уравнение теплопроводности:

Указанная система уравнений является связанной членами в уравнении (1.5.24) и членами — в уравнении (1.5.11) или а в уравнении (1.5.13).

Рассмотрим случай, когда разности температур малы по сравнению с В этом случае можно ограничиться в выражении (1.5.22) линейным членом относительно и положить в равенстве Тогда выражение (1.5.22) для плотности энтропии и уравнение теплопроводности (1.5.24) получают вид

Заметим, что в случае адиабатической деформации, когда из уравнения (1.5.25), которое удовлетворяет условию

получаем

Подставляя (1.5.27) в уравнение (1.5.11), находим

где постоянная Ляме в случае адиабатической деформации:

Вторая постоянная Ляме остается без изменения.