§ 5.6. Форма решений и граничные условия

Общее решение уравнения (5.5.11) можно представить в такой форме;

Этому решению соответствуют следующие решения для

Здесь — определенные с точностью до постоянных интегрирования частные решения однородного уравнения, соответствующего уравнению (5.5.11). Так как это однородное уравнение не содержит членов, обусловленных действием осевой силы и неравномерного нагрева, то его частные решения соответствуют такому напряженному состоянию оболочки, которое вызывается в ней действием самоуравновешенных контурных нагрузок: изгибающих моментов и радиальных усилий Такое напряженное состояние принято называть краевым эффектом.

Четыре линейно независимые решения краевого эффекта позволяют путем соответствующего выбора постоянных интегриро

вания осуществить любую комбинацию краевых самоуравновешенных нагрузок на двух ограничивающих оболочку контурах.

Входящие в решения представляют собой частные решения уравнения (5.5.11), соответствующие свободному члену, содержащему слагаемые Эти частные решения отвечают таким видам напряженного состояния оболочки, которые обусловлены действием соответственно неравномерного нагрева, вызывающего обобщенные чисто тепловые деформации и осевой силы

Зная из уравнений (5.5.2) и (5.5.6) можно определять , а затем из соотношений упругости (5.4.2) и (5.4.6) — Поперечная сила определяется по формуле (5.5.1).

Перемещение можно определить из дифференциального уравнения

полученного из уравнений (5.2.8) и путем исключения Из этих же уравнений получаем следующее выражение для определения перемещения

Так как для определения перемещений надо интегрировать дифференциальное уравнение первого порядка (5.6.3), то форма их общих решений будет отличаться от формы решений (5.6.2) для усилий, моментов и деформаций наличием дополнительного частного решения, т. е. она представляется так:

Здесь решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (5.6.3),

Рассматривая однородную систему двух уравнений, соответствующих уравнениям (5.2.8) и (5.2.15), легко убедиться, что

Из этих выражений ясен простой механический смысл постоянной представляет собой смещение оболочки в целом как жесткого тела вдоль ее оси.

Наличие в решениях для усилий, моментов и деформаций пяти постоянных интегрирования и шестой постоянной в решениях для перемещений позволяет удовлетворять любые граничные условия на контурах, ограничивающих оболочку.

Граничные условия представляют собой условия загружения или закрепления краев оболочки. Они формулируются при составлении расчетной схемы рассматриваемой конкретной задачи.

Задаются граничные условия в виде силовых или кинематических факторов. Силовые факторы характеризуют загружение краев оболочки, а кинематические — их закрепление или перемещения.

В весьма общем случае граничные условия могут быть заданы в виде следующих трех силовых и четырех кинематических факторов:

(см. скан)

На каждом граничном контуре могут быть заданы независимо первые два из указанных силовых или кинематических факторов.

Если из условия равновесия оболочки в целом можно определить осевую силу то задается третий силовой фактор. Если закрепление оболочки не позволяет определить осевую силу из условий статики, т. е. оболочка является статически неопределимой относительно этой силы, то задается третий кинематический фактор.

Четвертый кинематический фактор фиксирует положение начала отсчета осевых перемещений оболочки. Он может быть задан лишь на одном из контуров.

Таким образом, всего может быть задано шесть граничных условий, из которых можно определить входящие в частные решения шесть постоянных интегрирования.

Если оболочка статически определима относительно осевой силы то определение постоянных интегрирования выполняется в такой последовательности.

1. Находится сила и по формуле (5.5.4) определяется постоянная С.

2. На основании заданных первых двух силовых или кинематических факторов (по два на каждом краю оболочки) составляется система четырех уравнений, из которой определяются постоянные интегрирования , входящие в частные решения краевого эффекта.

3. Для контура с известным осевым перемещением (четвертый кинематический фактор) записывается одно уравнение, из которого определяется постоянная интегрирования