Главная > Введение в термоупругость (Коваленко А.Д.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3.7. Нестационарное осесимметричное температурное поле цилиндра конечной длины

Определим нестационарное осесимметричное температурное поле полого цилиндра конечной длины I с радиусами цилиндрических поверхностей (рис. 12), который находится в условиях конвективного теплообмена с окружающей средой.

Рис. 12.

Предполагаем, что температуры среды, омывающей поверхности цилиндра, являются функциями соответствующей координаты и времени, т. е.

Коэффициент теплопроводности материала цилиндра и коэффициенты теплоотдачи считаем постоянными. Начальная температура цилиндра также принимается постоянной.

Эта задача описывается дифференциальным уравнением при соответствующих начальном и граничных условиях. Вводя относительные координаты

и обозначения

сводим рассматриваемую задачу к решению уравнения

при начальном условии

и граничных условиях

Без ограничения общности можно положить Решение уравнения (3.7.1) ищем в виде

где функция является решением уравнения

при условиях

а функция удовлетворяет уравнению

и условиям

Решения уравнений (3.7.5) и (3.7.8) находим с помощью интегрального преобразования Лапласа и метода разделения переменных. Применяя к этим уравнениям и соответствующим граничным условиям преобразование Лапласа (3.6.3), приходим к решению уравнения

при условиях

и уравнения

при условиях

где

Для решения уравнений (3.7.11) и (3.7.14) применяем метод разделения переменных. Рассмотрим подробно этот метод для определения функции Подставляя решение для функции в виде

в уравнение (3.7.11) и вводя обозначение

получаем для определения функций уравнения

решения которых имеют вид

где функции Бесселя нулевого порядка первого и второго рода;

Используя выражения (3.7.18), представляем решение (3.7.17) в виде

где

Решение (3.7.19) содержит четыре величины подлежащих определению из граничных условий.

Используя граничные условия (3.7.12) и принимая во внимание известные из теории бесселевых функций формулы

находим

где

Величины являются корнями трансцендентного уравнения

а функции имеют следующие выражения:

Постоянные и находим из условий (3.7.13). Представляем величины в виде рядов по ортогональным функциям

где коэффициенты в разложениях (3.7.23) имеют значения

Интеграл (3.7.25) легко вычисляется следующим образом. Так как функция является решением уравнения

то

или

Интегрируя по частям, получаем формулу (3.7.25).

Определяя постоянные и из граничных условий (3.7.13) и подставляя их в решение (3.7.20), находим

где

Аналогичным образом определяем функцию Ищем решение уравнения (3.7.14) в виде

Подставляя решение (3.7.29) в уравнение (3.7.14) и вводя обозначение

получаем для определения функций и уравнения

где

Интегрируя эти уравнения и подставляя выражение для функций решение (3.7.29), после перехода к новым постоянным интегрирования получаем

где функции Бесселя нулевого порядка первого и второго рода от чисто мнимого аргумента.

Определяя величины из граничных условий (3.7.16), находим

где

являются корнями уравнения

Представив в виде рядов по ортогональным функциям

величины и определим постоянные и из условий (3.7.15):

где коэффициенты в разложениях (3.7.35) имеют значения

Интеграл (3.7.37) вычисляется следующим образом. Функция удовлетворяет уравнению

Полагая в этом уравнении находим

С помощью выражения (3.7.33) определяем

и

Складывая выражения (3.7.39) и (3.7.41), получаем

функция удовлетворяет условиям (3.7.16), из которых вытекают зависимости

или

Сравнивая выражения (3.7.43) с выражением (3.7.40), имеем

На основании (3.7.43) и (3.7.45) находим

Наконец, подставляя выражение (3.7.46) в (3.7.42), получаем выражение (3.7.37).

Подставляя найденные из граничных условий значения постоянных в решение (3.7.32), окончательный результат представляем в виде

где

Используя теоремы разложения операционного исчисления, для различных законов изменения температур среды

3, 4) от времени можно из выражений для изображений (3.7.27) и (3.7.47) получить соответствующие решения для температурного поля в цилиндре.

В качестве примера рассмотрим случай, когда температуры среды имеют постоянные значения. Применяя для перехода от изображения к оригиналу формулу (3.6.10), можно найти следующее выражение для температурного поля цилиндра:

где функция не зависит от времени, а функция носит затухающий характер и уменьшается со временем. Эти функции имеют следующие выражения:

где

(см. скан)

Остальные обозначения указаны выше. Для сплошного цилиндра выражения (3.7.49) и (3.7.50) принимают вид

где

корни уравнения

Другие частные случаи нестационарной теплопроводности цилиндра рассмотрены в работе [32].

1
Оглавление
email@scask.ru