Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3.7. Нестационарное осесимметричное температурное поле цилиндра конечной длиныОпределим нестационарное осесимметричное температурное поле полого цилиндра конечной длины I с радиусами цилиндрических поверхностей
Рис. 12. Предполагаем, что температуры среды, омывающей поверхности цилиндра, являются функциями соответствующей координаты и времени, т. е.
Коэффициент теплопроводности материала цилиндра и коэффициенты теплоотдачи Эта задача описывается дифференциальным уравнением
и обозначения
сводим рассматриваемую задачу к решению уравнения
при начальном условии
и граничных условиях
Без ограничения общности можно положить
где функция
при условиях
а функция
и условиям
Решения уравнений (3.7.5) и (3.7.8) находим с помощью интегрального преобразования Лапласа и метода разделения переменных. Применяя к этим уравнениям и соответствующим граничным условиям преобразование Лапласа (3.6.3), приходим к решению уравнения
при условиях
и уравнения
при условиях
где
Для решения уравнений (3.7.11) и (3.7.14) применяем метод разделения переменных. Рассмотрим подробно этот метод для определения функции
в уравнение (3.7.11) и вводя обозначение
получаем для определения функций
решения которых имеют вид
где Используя выражения (3.7.18), представляем решение (3.7.17) в виде
где Решение (3.7.19) содержит четыре величины Используя граничные условия (3.7.12) и принимая во внимание известные из теории бесселевых функций формулы
находим
где Величины
а функции
Постоянные
где коэффициенты в разложениях (3.7.23) имеют значения
Интеграл (3.7.25) легко вычисляется следующим образом. Так как функция
то
или
Интегрируя по частям, получаем формулу (3.7.25). Определяя постоянные
где
Аналогичным образом определяем функцию
Подставляя решение (3.7.29) в уравнение (3.7.14) и вводя обозначение
получаем для определения функций и
где Интегрируя эти уравнения и подставляя выражение для функций
где Определяя величины
где
Представив в виде рядов по ортогональным функциям величины
где коэффициенты в разложениях (3.7.35) имеют значения
Интеграл (3.7.37) вычисляется следующим образом. Функция удовлетворяет уравнению
Полагая в этом уравнении
С помощью выражения (3.7.33) определяем
и
Складывая выражения (3.7.39) и (3.7.41), получаем
функция
или
Сравнивая выражения (3.7.43) с выражением (3.7.40), имеем
На основании (3.7.43) и (3.7.45) находим
Наконец, подставляя выражение (3.7.46) в (3.7.42), получаем выражение (3.7.37). Подставляя найденные из граничных условий значения постоянных
где
Используя теоремы разложения операционного исчисления, для различных законов изменения температур среды 3, 4) от времени можно из выражений для изображений (3.7.27) и (3.7.47) получить соответствующие решения для температурного поля в цилиндре. В качестве примера рассмотрим случай, когда температуры среды
где функция
где (см. скан) Остальные обозначения указаны выше. Для сплошного цилиндра
где
Другие частные случаи нестационарной теплопроводности цилиндра рассмотрены в работе [32].
|
1 |
Оглавление
|