§ 3.7. Нестационарное осесимметричное температурное поле цилиндра конечной длины

Определим нестационарное осесимметричное температурное поле полого цилиндра конечной длины I с радиусами цилиндрических поверхностей (рис. 12), который находится в условиях конвективного теплообмена с окружающей средой.

Рис. 12.

Предполагаем, что температуры среды, омывающей поверхности цилиндра, являются функциями соответствующей координаты и времени, т. е.

Коэффициент теплопроводности материала цилиндра и коэффициенты теплоотдачи считаем постоянными. Начальная температура цилиндра также принимается постоянной.

Эта задача описывается дифференциальным уравнением при соответствующих начальном и граничных условиях. Вводя относительные координаты

и обозначения

сводим рассматриваемую задачу к решению уравнения

при начальном условии

и граничных условиях

Без ограничения общности можно положить Решение уравнения (3.7.1) ищем в виде

где функция является решением уравнения

при условиях

а функция удовлетворяет уравнению

и условиям

Решения уравнений (3.7.5) и (3.7.8) находим с помощью интегрального преобразования Лапласа и метода разделения переменных. Применяя к этим уравнениям и соответствующим граничным условиям преобразование Лапласа (3.6.3), приходим к решению уравнения

при условиях

и уравнения

при условиях

где

Для решения уравнений (3.7.11) и (3.7.14) применяем метод разделения переменных. Рассмотрим подробно этот метод для определения функции Подставляя решение для функции в виде

в уравнение (3.7.11) и вводя обозначение

получаем для определения функций уравнения

решения которых имеют вид

где функции Бесселя нулевого порядка первого и второго рода;

Используя выражения (3.7.18), представляем решение (3.7.17) в виде

где

Решение (3.7.19) содержит четыре величины подлежащих определению из граничных условий.

Используя граничные условия (3.7.12) и принимая во внимание известные из теории бесселевых функций формулы

находим

где

Величины являются корнями трансцендентного уравнения

а функции имеют следующие выражения:

Постоянные и находим из условий (3.7.13). Представляем величины в виде рядов по ортогональным функциям

где коэффициенты в разложениях (3.7.23) имеют значения

Интеграл (3.7.25) легко вычисляется следующим образом. Так как функция является решением уравнения

то

или

Интегрируя по частям, получаем формулу (3.7.25).

Определяя постоянные и из граничных условий (3.7.13) и подставляя их в решение (3.7.20), находим

где

Аналогичным образом определяем функцию Ищем решение уравнения (3.7.14) в виде

Подставляя решение (3.7.29) в уравнение (3.7.14) и вводя обозначение

получаем для определения функций и уравнения

где

Интегрируя эти уравнения и подставляя выражение для функций решение (3.7.29), после перехода к новым постоянным интегрирования получаем

где функции Бесселя нулевого порядка первого и второго рода от чисто мнимого аргумента.

Определяя величины из граничных условий (3.7.16), находим

где

являются корнями уравнения

Представив в виде рядов по ортогональным функциям

величины и определим постоянные и из условий (3.7.15):

где коэффициенты в разложениях (3.7.35) имеют значения

Интеграл (3.7.37) вычисляется следующим образом. Функция удовлетворяет уравнению

Полагая в этом уравнении находим

С помощью выражения (3.7.33) определяем

и

Складывая выражения (3.7.39) и (3.7.41), получаем

функция удовлетворяет условиям (3.7.16), из которых вытекают зависимости

или

Сравнивая выражения (3.7.43) с выражением (3.7.40), имеем

На основании (3.7.43) и (3.7.45) находим

Наконец, подставляя выражение (3.7.46) в (3.7.42), получаем выражение (3.7.37).

Подставляя найденные из граничных условий значения постоянных в решение (3.7.32), окончательный результат представляем в виде

где

Используя теоремы разложения операционного исчисления, для различных законов изменения температур среды

3, 4) от времени можно из выражений для изображений (3.7.27) и (3.7.47) получить соответствующие решения для температурного поля в цилиндре.

В качестве примера рассмотрим случай, когда температуры среды имеют постоянные значения. Применяя для перехода от изображения к оригиналу формулу (3.6.10), можно найти следующее выражение для температурного поля цилиндра:

где функция не зависит от времени, а функция носит затухающий характер и уменьшается со временем. Эти функции имеют следующие выражения:

где

(см. скан)

Остальные обозначения указаны выше. Для сплошного цилиндра выражения (3.7.49) и (3.7.50) принимают вид

где

корни уравнения

Другие частные случаи нестационарной теплопроводности цилиндра рассмотрены в работе [32].