§ 2.2. Постановка и представление общего решения задачи термоупругости в перемещениях

Для постановки квазистатической задачи термоупругости в перемещениях используется первое из уравнений (1.6.8). Отбрасывая в нем инерционный член и внося в него дополнительный член — вектор объемной силы получаем основное уравнение рассматриваемой задачи в виде

В этом уравнении функция предполагается известной из решения соответствующей задачи теплопроводности.

Граничные условия в перемещениях (2.1.2) остаются без изменения, а граничные условия в напряжениях (2.1.3) можно с помощью соотношений (1.5.11) представить также в перемещениях

Общее решение уравнения (2.2.1) имеет вид

где общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (2.2.1); — частное решение неоднородного уравнения (2.2.1), взятого при — частное решение неоднородного уравнения (2.2.1), взятого при

Общее решение однородного уравнения и найдено П. Ф. Папковичем [38] в следующем виде:

где В — гармонический вектор, удовлетворяющий уравнению

гармонический скаляр, удовлетворяющий уравнению

- радиус-вектор.

Заметим, что без ограничения общности гармонический скаляр в решении (2.2.4) может быть опущен; однако его сохранение в ряде случаев упрощает решение задачи.

Частное решение исследуется в теории упругости; здесь ограничимся рассмотрением частного решения Это частное решение, полученное одновременно П. Ф. Папковичем [39] и Гудьером [61], имеет вид

где скалярная функция удовлетворяет уравнению Пуассона

функция носит название термоупругого потенциала перемещений.

В работах Мелана и Паркуса [31], Новацкого [35] и др. определение термоупругого потенциала перемещений является основным этапом при исследовании тепловых напряжений. В этих работах принят следующий метод решения отдельных квазистатических задач термоупругости.

Сначала при известном температурном поле находится частное решение уравнения (2.2.8) для термоупругого потенциала перемещений первые производные которого по координатам

определяют соответствующие частные решения для перемещений.

Далее вычисляются отвечающие термоупругому потенциалу перемещений тепловые напряжения, которые, вообще говоря, не удовлетворяют заданным условиям на поверхности.

Затем на это решение накладывается решение соответствующей краевой задачи изотермической теории упругости, содержащее необходимое число постоянных интегрирования для удовлетворения граничных условий.

Заметим, что решение (2.2.7) является окончательным только для неограниченного тела.

Рассмотренные постановка и представление решения квазистатической задачи термоупругости в перемещениях справедливы как для односвязных, так и для многосвязных тел; при этом перемещения должны быть однозначными функциями, имеющими непрерывные производные до второго порядка включительно.

В заключение этого параграфа упомянем аналогию между квазистатической задачей термоупругости и задачей изотермической теории упругости с фиктивными объемными и поверхностными силами.

Сравнивая уравнения (2.2.1) и (2.2.2) с соответствующими уравнениями изотермической теории упругости, можно сделать заключение о том, что постановка квазистатической задачи термоупругости в перемещениях сводится к постановке задачи изотермической теории упругости, если рассматривать в качестве вектора плотности объемной силы величину а к заданным внешним поверхностным силам добавить равномерное нормальное к поверхности растяжение величиной Указанная аналогия нашла широкое применение при исследовании термоупругих напряжений в книге С. П. Тимошенко [47] и др.