§ 2.6. Криволинейные координаты
Основные положения термоупругости рассматривались выше с привлечением прямоугольных координат. Однако для решения ряда задач термоупругости удобно применение ортогональных криволинейных координат.
Рис. 5.
Рассмотрим основные уравнения в цилиндрических и сферических координатах; при этом предположим, что правило суммирования по повторяющимся индексам для криволинейных координат не имеет места.
В цилиндрических координатах положение точки 
определяется тремя координатами 
(рис. 5). Координатными поверхностями являются цилиндры 
полуплоскости 
и плоскости 
Декартовы координаты связаны с цилиндрическими соотношениями
Введем в рассмотрение трехгранник единичных взаимно ортогональных векторов 
образующих правую систему; 
является единичным вектором радиуса, 
единичным вектором касательной к окружности, 
единичным вектором образующей. Каждый из единичных векторов направлен в сторону возрастания соответствующей координаты (см. рис. 5).
Из векторного анализа известно, что основные векторные операции в цилиндрических координатах можно выразить следующим образом:
В системе цилиндрических координат соотношения между компонентами тензора деформации 
вв, 
и компонентами вектора перемещений 
и записываются следующим образом:
Уравнения движения приобретают вид
где 
— компоненты тензора напряжения (рис. 6); 
компоненты вектора плотности объемной силы 
в сферических координатах положение точки 
определяется тремя координатами 
Координатными поверхностями в этой системе координат являются сферы 
конусы 
и полуплоскости 
Рис. 6.
Декартовы координаты связаны со сферическими соотношениями
Вводя трехгранник единичных взаимно ортогональных векторов 
(см. рис. 7), основные векторные операции в сферических координатах представляем в виде
(кликните для просмотра скана)
Ограничиваясь случаем осесимметричного температурного поля и поля напряжений, когда деформации и напряжения не зависят от координаты 0, в системе сферических координат получаем следующие зависимости (рис. 8):
соотношения между компонентами тензора деформации и компонентами вектора перемещения
уравнения движения
