§ 3.3. Стационарное плоское осесимметричное температурное поле диска и цилиндра

Определим стационарное плоское температурное поле диска постоянной толщины с центральным отверстием. Обозначим радиус наружного контура через а радиус внутреннего контура (центрального отверстия) через (рис. 10).

Предполагаем, что на поверхности диска одинаковый конвективный теплообмен.

Рис. 10.

Переходя к полярным координатам и учитывая симметрию температурного поля, уравнение теплопроводности этой задачи получаем из уравнения (3.2.8) в виде

где — температура среды и коэффициент теплоотдачи на поверхностях диска

Вместо условий (3.2.9) для рассматриваемой задачи имеют место следующие граничные условия:

где и температура среды и коэффициент теплоотдачи на контуре центрального отверстия диска

температура среды и коэффициент теплоотдачи на наружном контуре диска

Вводя вместо относительную координату переписываем уравнение (3.3.1) и условия (3.3.2) в виде

где

Решением уравнения (3.3.3) является выражение

где функции Бесселя нулевого порядка первого и второго рода от чисто мнимого аргумента.

Постоянные интегрирования определяем из условий (3.3.4); при этом учитываем известные из теории функций Бесселя формулы

где функции Бесселя первого порядка первого и второго рода. Находим

где

При условия (3.3.4) принимают вид

Уравнение (3.3.3) и условия (3.3.7) описывают задачу об осесимметричном температурном поле диска в случае, когда на внутреннем и наружном его контурах заданы соответственно температуры и при конвективном теплообмене на поверхностях диска

Решение этой задачи получаем из решения (3.3.5), устремляя в нем к бесконечности; при этом постоянные интегрирования (3.3.6) принимают значения

Полагая в уравнении отсутствие теплообмена на поверхностях диска получаем уравнение теплопроводности, которое при граничных условиях (3.3.4) или (3.3.7) описывает задачу об осесимметричном температурном поле длинного цилиндра при заданном конвективном теплообмене на его внутренней и наружной цилиндрических поверхностях или при заданных температурах на этих поверхностях. В том и другом случаях температурное поле определяется выражением

при этом в случае граничных условий (3.3.4)

где

a в случае граничных условий (3.3.7)