§ 5.3. Уравнения равновесия оболочки

Выделим из оболочки элемент двумя меридиональными сечениями и двумя коническими поверхностями и нормальными к срединной поверхности. Пусть нормальные напряжения, действующие по площадкам, ограничивающим элемент; о — касательные напряжения, действующие по тем же площадкам в направлении единичного вектора (рис. 22).

В теории оболочек вместо напряжений вводятся статически эквивалентные им усилия и моменты по формулам

Рис. 22.

Здесь соответственно нормальное усилие, поперечное усилие и изгибающий момент в сечении нормальное усилие и изгибающий момент в сечении

Внутренние усилия и моменты отнесены к единице длины соответствующей координатой линии срединной поверхности (параллели или меридиана).

Положительные направления внутренних сил и моментов указаны на рис. 23.

Задача о равновесии пространственного элемента оболочки сводится к задаче о равновесии соответствующего элемента срединной поверхности. Этот элемент ограничен параллелями и меридианами

На сторону элемента действует усилие

а на сторону элемента усилие

Равнодействующая этих двух усилий равна

Рис. 23.

Таким же образом находим равнодействующую усилий, действующих на стороны элемента

равнодействующую изгибающих моментов, действующих на стороны элемента

и равнодействующую изгибающих моментов, действующих на стороны элемента

Кроме этого, с точностью до величин того же порядка малости учитываем момент действующих на элемент усилий

Из условий равенства нулю главного вектора и главного момента всех сил, действующих на элемент срединной поверхности, получаем два векторных уравнения равновесия элемента оболочки:

Дифференцируем произведения скалярных множителей на векторы, используя при этом формулы (5.1.12) для производных единичных векторов и принимая во внимание, что

приравнивая затем нулю коэффициенты при находим из двух векторных уравнений (5.3.7) три скалярных уравнения равновесия элемента оболочки: