§ 4.2. Постановка плоской задачи термоупругости в напряжениях для многосвязных тел

Рассмотрим плоское напряженное состояние -связ-ного тела в плоском температурном поле.

Пусть плоское тело ограничено несколькими замкнутыми контурами, из которых наружный контур охватывает все остальные (пластина с отверстиями) (рис. 15). Разрешающее уравнение рассматриваемой задачи (4.1.21) содержит функцию которая имеет непрерывные производные до четвертого порядка.

Рис. 15.

Так как напряжения есть однозначные функции, то производные от функции начиная с производных второго порядка, являются также однозначными. Для односвязного тела однозначность вторых производных определяет однозначность и самой функции.

В случае многосвязного тела перемещения могут стать многозначными функциями. Поэтому постановка плоской задачи термоупругости в напряжениях, данная в § 4.1 для односвязной

области, для многосвязной области должна быть дополнена тремя условиями однозначности: двумя для перемещений и и одним для угла поворота

Указанные условия однозначности можно было бы получить как частный случай соответствующих условий однозначности для пространственной задачи теории упругости (§ 2.3). Однако в целях лучшего уяснения существа рассматриваемого вопроса здесь приводится независимый вывод этих условий в системе ортогональных криволинейных координат

Начнем с вывода условия однозначности для угла поворота

Так как деформации являются однозначными функциями, то на основании формулы

вытекающей из соотношения (4.2.1) и третьего из соотношений (4.1.9), следует, что условие однозначности для угла поворота сводится к условию однозначности для производной или для производной

Условие однозначности для производной можно записать в следующем виде:

где интегрирование выполняется по каждому замкнутому контуру обходящему только одно отверстие (см. рис. 15).

Вводя в подынтегральное выражение по формулам (4.1.9) деформации и выражая их с помощью формул (4.1.6) и (4.1.20) через функцию напряжений, получаем

Принимая во внимание равенства (см. равенства (4.1.28))

находим условие однозначности для угла поворота в виде

Условие однозначности для перемещения и записываем в виде

Интегрируя по частям, получаем

Считая, что условие однозначности для производной уже выполнено, и вводя деформации, имеем

Выражая деформации через функцию напряжений и принимая во внимание равенства (4.2.4), находим

Наконец, преобразуя в этом равенстве с помощью первого из: граничных условий (4.1.30) последний интеграл

окончательно получаем условие однозначности для перемещения и в виде

Аналогичным образом составляем третье условие однозначности для перемещения

где компоненты вектора плотности поверхностной силы на внутреннем контуре рис. 15).

Если в условиях (4.2.5), (4.2.8), (4.2.9) заменить величины а на величины определяемые выражениями (4.1.4), то получим соответствующие условия однозначности для плоской деформации (длинного цилиндра).

Условия однозначности для перемещений в плоской задаче упругости впервые выведены Мичеллом [64].

Таким образом, постановку плоской задачи термоупругости в напряжениях можно резюмировать следующим образом.

Необходимо определить функцию напряжений удовлетворяющую дифференциальному уравнению (4.1.21) (плоское напряженное состояние) или дифференциальному уравнению (4.1.23) (плоская деформация), граничным условиям (4.1.31) и (4.1.32) на наружном контуре и соответствующим граничным условиям на каждом внутреннем контуре (рис. 15), условиям однозначности для перемещений и угла поворота на каждом внутреннем контуре определяемым уравнениями (4.2.5), (4.2.8), (4.2.9) (плоское напряженное состояние) или теми же уравнениями, но содержащими вместо величин , а величины , (плоская деформация).

В граничные условия входят постоянные (наружный контур) и (внутренние контуры). Одна из групп этих постоянных выбирается произвольно.

Как указано в § 4.1, постоянные можно положить равными нулю; тогда остальные постоянных определяются из удовлетворения условий однозначности для перемещений и углов поворота.

Пример, иллюстрирующий применение указанной постановки плоской задачи термоупругости, рассматривается в § 4.4.

Можно дать физическое толкование неоднозначности перемещений и углов поворота в многосвязных телах. Оказывается, что эта неоднозначность связана с дислокационными напряжениями, т. е. с такими напряжениями, которые возникают в многосвязных телах не от действия внешних сил, а за счет образования особого рода деформаций, называемых дислокациями. Образовать такую деформацию (дислокацию) можно, например, лосредством соединения двух краев тела, получившихся в

результате того, что после разреза по линии из него удалена или, наоборот, в него вставлена узкая полоса (рис. 15).

Совершенно ясно, что при такой операции для соединения различных участков краев приходится посредством внешних воздействий этим участкам давать различные перемещения и углы поворота. После жесткого соединения краев и удаления внешних воздействий тело останется в напряженном состоянии, и по линии будет иметь место скачкообразное изменение перемещений и углов поворота.

Из формул (4.2.1), (4.2.5), следует, что в результате такой деформации при обходе замкнутого контура в точке возникают (при отсутствии температурного поля) следующие изменения перемещений и угла поворота

где перемещения и угол поворота в точке одного края, а — перемещения и угол поворота в точке другого края (рис. 15).

Существует аналогия между плоской задачей термоупругости для многосвязных тел при стационарном температурном поле и плоской задачей изотермической теории упругости с дислокациями, которая установлена И. Мусхелишвили в 1916 г. [33]. Действительно, при наличии дислокаций и отсутствии поверхностных сил постановка задачи изотермической теории упругости сводится к нахождению функции напряжений, удовлетворяющей дифференциальному уравнению

граничным условиям

и условиям

вытекающим из выражений (4.2.10).

В случае плоской деформации в условиях (4.2.14) необходимо заменить на

Постановка плоской задачи термоупругости при стационарном температурном поле без источников тепла, удовлетворяющем уравнению (4.1.34), сводится к решению того же дифференциального уравнения (4.2.11) при тех же граничных условиях (4.2.12) и (4.2.13) и при условиях однозначности перемещений и, V VI угла поворота Юг

Здесь опять заметим, что в случае плоской деформации в условиях (4.2.15) следует величины заменить на

Из сравнения условий (4.2.14) и (4.2.15) вытекают равенства

устанавливающие те величины дислокаций которые должны быть приняты во внимание при решении плоской задачи изотермической теории упругости для многосвязного тела, чтобы получить такое же распределение напряжений, как и в соответствующей плоской задаче термоупругости при стационарном температурном поле.

Для исследования плоских задач термоупругости для многосвязных тел может быть эффективно применен метод, основанный на теории функций комплексного переменного. Этот метод детально разработан Н. И. Мусхелишвили [34]. По вопросу применения теории функций комплексного переменного для изучения плоских задач термоупругости следует отметить также работу Лебедева [21].