§ 7.3. Колебания прямоугольной пластины, обусловленные тепловым ударом

Рассмотрим свободно опертую прямоугольную пластину, занимающую область (рис. 27):

Пусть к поверхности пластины внезапно подводится тепловой поток, плотность которого равна

Нижняя поверхность пластины и края пластины предполагаются идеально теплоизолированными.

Исследование динамического поведения пластины при скачкообразном изменении температуры ее поверхности проведено в работе [53].

При указанных условиях теплообмена нестационарное температурное поле будет зависеть только от координаты и времени

Рис. 27.

Задача нестационарной теплопроводности на основании уравнений (3.1.3), (3.1.6) и (3.1.7) описывается уравнением

при начальном условии

и граничных условиях

Решение этой задачи посредством преобразования Лапласа приводится в книге [57] в виде выражения

где

Используя известное уравнение термоупругого изгиба пластины [15]

и заменяя в соответствии с принципом Даламбера интенсивность поверхностных сил силами инерции — получаем следующее уравнение движения:

где

коэффициент линейного теплового расширения, цилиндрическая жесткость изгиба пластины.

Решение уравнения (7.3.7) должно удовлетворять следующим начальным и граничным условиям

Подставляя выражение (7.3.5) в равенство (7.3.8), получаем для чисто тепловой деформации следующее выражение:

Так как не зависит от координат то

Учитывая равенство (7.3.13), переписываем уравнение (7.3.7) в виде

Решение уравнения (7.3.14) представляем в виде суммы квазистатической и динамической частей:

Квазистатическая часть решения должна удовлетворять уравнению

при граничных условиях (7.3.10) и (7.3.11), в которых следует заменить на

Подставляя решение (7.3.15) в уравнение (7.3.14) и учитывая уравнение (7.3.16), получаем следующее уравнение для динамической части решения:

где

Так как квазистатическая часть решения удовлетворяет всем граничным условиям пластины (7.3.10) и (7.3.11), то динамическая часть решения должна удовлетворять начальным условиям

и однородным граничным условиям

Решение уравнения (7.3.16) выбираем в виде

где функции являются бигармоническими функциями, которые подчиняем следующим граничным условиям:

При этих граничных условиях для функций и полностью выполняются граничные условия для функции

Выражения для бигармонических функций выбираем в виде

где

Выражение для автоматически удовлетворяет условиям (7.3.21), а выражение для условиям (7.3.24).

Для удовлетворения остальных граничных условий разлагаем в ряды Фурье следующие величины, входящие в граничные условия (7.3.22) и (7.3.23):

где

Внося выражения (7.3.25) и (7.3.26) в граничные условия (7.3.22) и (7.3.23), находим постоянные

Переходим к нахождению динамической части решения. Условия (7.3.19) удовлетворяются, если динамическую часть решения выбрать в виде выражения

Представляя функцию определяемую выражением (7.3.20), в виде двойного тригонометрического ряда

где

и подставляя ряды (7.3.29) и (7.3.30) в уравнение (7.3.17), получаем следующее дифференциальное уравнение для определения коэффициентов

где

С начальными условиями

Применяя преобразование Лапласа и учитывая условия (7.3.32) и равенство

находим следующее алгебраическое уравнение для изображения

После обратного преобразования, выполненного с учетом выражения (7.3.12) для и равенства

получаем окончательный результат для динамической части решения в виде

Рис. 28.

Авторами работы [53] были проведены вычисления отношения максимального динамического прогиба в центре пластины к наибольшему квазистатическому прогибу при различных значениях параметра

и отношениях

На рис. 28 приводится кривая изменения отношения в зависимости от параметра В для балки

Аналогичные кривые получаются при других отношениях:

Результаты исследования показывают, что динамический эффект увеличивается по мере уменьшения значения параметра В при отношение становится равным 2.