§ 4.5. Термоупругость круглых пластин

В этом параграфе рассматриваются в квазистатической постановке осесимметричное растяжение и изгиб круглой сплошной пластины, обусловленные стационарным осесимметричным температурным полем

где координата отсчитывается от срединной поверхности пластины (см. рис. 11); при этом влияние растяжения на изгиб не учитывается.

Предполагается, что на наружном контуре пластины и на ее поверхностях происходит осесимметричный стационарный конвективный теплообмен, при котором температура среды, омывающей поверхность пластины существенно отличается от температуры среды, омывающей ее поверхность При таких условиях теплообмена температурное поле изменяется как вдоль радиуса, так и по толщине пластины, вызывая, кроме растяжения пластины, также ее тепловой изгиб.

Решение соответствующей задачи теплопроводности приводится в § 3.4. Если предположить, что температурное поле вдоль толщины пластины изменяется по линейному закону, то решение для стационарного осесимметричного температурного поля определяется выражением (3.4.5). Полагая в этом выражении

постоянные и С равными нулю (пластина сплошная), получаем температурное поле (4.5.1), в котором функции и имеют следующие выражения:

где

Здесь температуры среды, омывающей поверхности пластины а — коэффициент теплоотдачи на поверхностях пластины коэффициент теплопроводности материала пластины; относительный радиус пластины.

Постоянные С] и имеют значения, определяемые первыми из равенств (3.3.6) и (3.4.6); при этом в связи с отсутствием в пластине центрального отверстия в этих равенствах следует положить

Определим тепловые напряжения растяжения и изгиба пластины, соответствующие температурному полю (4.5.1).

Выведем, опираясь на теорию тонких круглых пластин [15], основные уравнения, описывающие рассматриваемую задачу.

Обозначим радиальное перемещение и прогиб срединной плоскости пластины через .

Относительные удлинения срединной плоскости пластины в радиальном и окружном направлениях

Кроме удлинений, срединная плоскость пластины получает искривление. При нахождении параметров, характеризующих это искривление, в соответствии с гипотезой о неизменяемости нормального элемента считаем, что элемент пластины после деформации получает направление нормали к деформированной срединной плоскости, поворачиваясь на малый угол в плоскости (рис. 16).

Малый угол поворота связан с прогибом и равенством

На основании принятой гипотезы о характере деформации пластины составляем следующие зависимости между перемещениями в точке на расстоянии от срединной поверхности и перемещениями и в соответствующей точке срединной поверхности:

Рис. 16.

Заменяя в формулах на находим относительные удлинения в точке на расстоянии от срединной поверхности

где

Величины и в представляют собой кривизну срединной поверхности в радиальном и окружном направлениях.

На элемент пластины, выделенный двумя радиальными (плоскими) и двумя цилиндрическими сечениями, действуют нормальные напряжения и касательное напряжение о (рис. 17).

Введем вместо напряжений статически им эквивалентные усилия и моменты по формулам

Здесь соответственно нормальное усилие, поперечное усилие и изгибающий момент, действующие в цилиндрическом сечении; и нормальное усилие и изгибающий момент, действующие в радиальном сечении.

Рис. 17.

Внутренние усилия и моменты отнесены к единице длины соответствующей координатной линии (окружности или полярного радиуса).

Введение внутренних усилий и моментов позволяет задачу о равновесии пространственного элемента пластины свести к задаче о равновесии соответствующего элемента ее срединной поверхности. Рассматривая равновесие элемента срединной поверхности (рис. 18), составляем следующие уравнения равновесия пластины:

Деформации (4.5.7) состоят из упругих деформаций, связанных с напряжениями известными соотношениями, и чисто тепловых деформаций.

Если температура пластины возрастает на то при тепловом расширении относительное удлинение линейного элемента в любом направлении равно где — коэффициент линейного теплового расширения.

Рис. 18

Получаем

где модуль упругости, коэффициент Пуассона. Обе части равенств (4.5.13) умножаем сначала на а затем на и интегрируем в пределах от до

Вводя вместо напряжений усилия и моменты по формулам (4.5.9) и используя выражения (4.5.7), находим

где

Величины и можно рассматривать как обобщенные чисто тепловые деформации.

При линейном изменении температуры по толщине пластины и при постоянном коэффициенте линейного теплового расширения а величины принимают вид

где

В этом случае есть чисто тепловое относительное удлинение срединной плоскости, а кривизна срединной плоскости, обусловленная тепловым расширением.

Подставляя в равенства (4.5.19) и (4.5.20) выражение (4.5.1) для температурного поля, определяем величины а затем по формулам (4.5.17) и (4.5.18) — чисто тепловые деформации:

Определяя из выражений (4.5.14) и (4.5.15) усилия и моменты, получаем следующие соотношения между усилиями, моментами и деформациями:

где цилиндрическая жесткость растяжения пластины; цилиндрическая жесткость изгиба пластины.

Поперечное внутреннее усилие входящее в уравнения равновесия (4.5.11) и (4.5.12), вследствие отсутствия внешних поперечных сил следует положить равным нулю.

Формулы для вычисления напряжений получаем следующим образом. Из соотношений (4.5.13) определяем напряжения

Заменяя деформации их выражениями (4.5.7) и выражая затем деформации по формулам (4.5.14) и (4.5.15) через усилия и моменты, находим

При изменении вдоль толщины по линейному закону температурные члены в формулах (4.5.26) сокращаются. В этом случае суммарные тепловые напряжения находятся по формулам

где

тепловые напряжения растяжения;

тепловые напряжения изгиба.

Предполагаем, что на контуре отсутствуют радиальные силы и изгибающие моменты; в соответствии с этим граничные условия получают вид

Если не учитывать влияние растяжения пластины на ее изгиб, то рассматриваемая задача распадается на две независимые задачи: первая из них является задачей о плоском осесимметричном напряженном состоянии пластины, соответствующем чисто тепловой деформации (4.5.19); вторая — задачей об осесимметричном тепловом изгибе круглой пластины, обусловленном чисто тепловой деформацией (4.5.20). Между этими двумя задачами существует полная аналогия, которая проявляется как в основных уравнениях, так и в граничных условиях.

Величинам первой задачи соответствуют величины второй задачи.

Величинам в выражении (4.5.21) для соответствуют величины в выражении (4.5.22) для

Решение первой задачи исследовано в § 4.3. Полагая в формулах и учитывая соотношение

получаем искомые тепловые напряжения растяжения

Заменяя в формулах на получаем следующие выражения для изгибающих моментов:

Соответствующие этим изгибающим моментам тепловые напряжения изгиба вычисляются по формулам (4.5.29).

Более сложные задачи термоупругости круглых пластин (тепловой изгиб круглых пластин переменной толщины при неосесимметричном температурном поле, тепловые напряжения в круглой пластине при переменном модуле упругости и др.) рассматриваются в работе [15].