§ 2.3. Постановка задачи термоупругости в напряжениях

При решении задач термоупругости, в которых граничные условия заданы в напряжениях (2.1.3), удобно пользоваться системой уравнений в напряжениях, которые получаются, если из уравнений (2.1.1), соотношений (1.5.11) или (1.5.13) и соотношений (1.2.2) исключить перемещения и деформации, выбрав в качестве неизвестных шесть компонентов тензора напряжения

Рассмотрим сначала эту задачу для односвязного упругого тела.

Уравнения равновесия (2.1.1) и граничные условия (2.1.3) уже представлены в напряжениях.

Для полной формулировки задачи термоупругости в напряжениях необходимо из соотношений (1.2.2) по известным компонентам тензора деформации определить компоненты вектора перемещения

В соответствии с равенством (1.2.5) запишем тождество (1.2.1) в виде

Условие интегрируемости уравнений (2.3.1) имеет вид

Используя соотношение (1.1.5), второй член правой части равенства (2.3.2) преобразуем к виду

Подставляя выражение (2.3.3) в условие (2.3.2) и учитывая, что получаем

Применяя к уравнениям (2.3.4) еще раз условие интегрируемости, находим соотношение

Соотношение (2.3.5) имеет два свободных индекса симметрично относительно этих индексов; таким образом, оно определяет шесть уравнений, которые называются уравнениями совместности деформаций. Полагая

и

получаем соответственно два следующих типичных уравнения из шести уравнений совместности деформаций:

Остальные четыре уравнения получаются посредством циклической перестановки индексов.

При выполнении условий (2.3.5) величины

являются полными дифференциалами.

Используя выражения (2.3.1) и (2.3.4) соответственно для производных интегрируя, получаем следующие компоненты вектора перемещения и угла поворота в точке Р:

где интегралы берутся по любому пути между точками и в рассматриваемой области V, а и компоненты перемещения и угла поворота в точке

Интеграл (2.3.6) можно представить также в следующем виде

Для односвязной области интегралы (2.3.6) и (2.3.7) не зависят от пути интегрирования, а, следовательно, представляют собой однозначные функции; при этом перемещения должны иметь непрерывные производные до третьего порядка включительно.

Найдем теперь уравнения совместности деформаций в напряжениях.

Переписываем соотношение (2.3.5) в виде

Полагая получаем

Выражая в уравнении (2.3.10) деформации через напряжения по формуле (1.5.13) и заменяя затем величины на основании уравнения (2.1.1) величинами находим

при равенство (2.3.11) дает следующее соотношение:

При выводе этого соотношения полагаем

Наконец, подставляя выражение для определяемое из соотношения (2.3.12), в равенство (2.3.11), находим следующие уравнения совместности деформаций в напряжениях:

Полагая получаем соответственно следующие типичные уравнения совместности деформаций в напряжениях:

Остальные четыре уравнения получаются посредством циклической перестановки индексов.

В постановке задачи термоупругости в напряжениях решение сводится к нахождению шести функций 0,7, удовлетворяющих трем уравнениям равновесия (2.1.1), шести уравнениям совместности деформаций в напряжениях (2.3.13) и трем граничным условиям (2.1.3).

Зная напряжения, с помощью соотношений (1.5.13) определяем деформации, а затем из уравнения (2.3.6) — перемещения.

Если рассматриваемая область многосвязна, то функции определяемые уравнениями (2.3.6) и (2.3.7), могут оказаться многозначными.

Дополнительные условия однозначности для функций и устанавливаются на основании свойств функции, определяемой по ее полному дифференциалу в многосвязной области [34].

Рассмотрим -связную область, которую мысленно посредством разрезов (внутренних поверхностей) можно превратить в односвязную (рис. 4).

Для однозначности функции и необходимо и достаточно, чтобы наряду с условиями (2.3.13) выполнялось условие о равенстве нулю интеграла в уравнении (2.3.8), взятого по

каждому замкнутому контуру охватывающему только одну -тую полость, т. е.

Аналогичные условия должны существовать для однозначности функции определяемой уравнением (2.3.7). Учитывая, что в уравнениях (2.3.16) величины

равны нулю на основании условий для однозначности функции указанные условия для однозначности функций и (0; можно представить в виде

Рис. 4.

Этот результат с помощью соотношения (1.5.13) записывается в напряжениях следующим образом: