§ 3.2. Уравнения нестационарной теплопроводности для пластин

Расположим срединную поверхность тонкой пластины толщиной в плоскости декартовой системы координат.

Рассмотрим пластину при нестационарном конвективном теплообмене на ее контуре и поверхностях (рис. 9).

При значительной разности температур среды, омывающей поверхности пластины по ее толщине возникают существенные градиенты температуры, вызывающие, кроме растяжения, также тепловой изгиб пластины. Определение нестационарного температурного поля такой пластины при постоянных теплофизических характеристиках сводится к решению уравнения (3.1.3), которое в декартовых координатах принимает вид

Рис. 9.

Решение уравнения (3.2.1) должно удовлетворять следующим начальному и граничным условиям:

В уравнениях (3.2.1) — (3.2.3) введены следующие обозначения: температура пластины; То — начальная температура пластины; и — температуры среды соответственно на контуре пластины, на поверхности поверхности — коэффициенты теплоотдачи соответственно на контуре пластины, на поверхности поверхности и а — коэффициенты теплопроводности и температуропроводности материала пластины; внешняя нормаль на контуре пластины.

Ищем приближенное решение этой задачи. Аппроксимируя изменение температуры вдоль толщины пластины по степенному закону

сводим рассматриваемую задачу к двумерной.

Для составления уравнений, которым удовлетворяют функции умножаем уравнение (3.2.1) на и интегрируем его по от этом выполняем интегрирование по частям, принимая во внимание тождество граничные условия (3.2.3). В результате получаем следующее уравнение:

где

Подставляя выражение (3.2.4) в условие (3.2.2) и первое из условий (3.2.3), находим начальные и граничные условия для функций В случае, когда и не зависят от эти условия принимают вид

Применяя уравнение (3.2.5) и условия (3.2.6) при разных значениях можно составить необходимую систему уравнений, описывающую нестационарную теплопроводность пластины при разных степенных законах изменения температуры по толщине пластины.

Предполагая температуру постоянной по толщине пластины

и полагая получаем уравнение теплопроводности

где

при условиях

Предполагая линейный закон изменения температуры по толщине пластины

отвечающий значениям находим систему двух уравнений теплопроводности

где

при начальных и граничных условиях

Предполагая квадратичный закон изменения температуры по толщине пластины

соответствующий значениям находим систему трех уравнений теплопроводности

при начальных и граничных условиях

В случае одинаковых коэффициентов теплоотдачи а, следовательно, и одинаковых параметров уравнения (3.2.11) и (3.2.14) принимают соответственно вид