§ 2.4. Вариационные принципы для задач термоупругости

Во многих случаях является эффективным применение вариационных методов для приближенного расчета тепловых напряжений. Рассмотрим в связи с этим соответствующие вариационные принципы, предполагая, что тело находится под действием поверхностных и объемных сил при известном температурном поле

Обобщение вариационного уравнения Лагранжа на случай задачи термоупругости.

Сообщим телу виртуальные перемещения удовлетворяющие всем кинематическим граничным условиям.

На основании уравнений равновесия справедливо следующее равенство:

где интегрирование выполняется по всему объему тела .

Применяя формулу Остроградского — Гаусса, получаем

где замкнутая поверхность, ограничивающая объем

Учитывая формулы (1.5.7) и условия на поверхности (1.2.8), а также принимая во внимание, что при виртуальных перемещениях температурное поле предполагается неизменным, находим

где плотность свободной энергии; компоненты вектора плотности поверхностных сил.

Уравнение (2.4.3) является обобщением известного начала возможных перемещений Лагранжа для случая упругого равновесия [23]; вместо плотности потенциальной энергии деформации здесь вносится плотность свободной энергии [62].

Обобщение принципа минимума потенциальной энергии деформации на случай задачи термоупругости.

Подвергнем напряженное состояние рассматриваемого тела такой произвольной вариации, при которой новые компоненты тензора напряжения удовлетворяли бы уравнениям равновесия (2.1.1), т. е.

Для удовлетворения граничных условий (2.1.3) необходимо вариации внешних поверхностных сил подчинить условию

Естественно, что при такой вариации напряженного состояния тела должны быть удовлетворены все условия кинематических связей.

На основании формул (1.5.8) можно записать следующее равенство:

В этом равенстве по формулам (1.2.2) заменяем компоненты тензора деформации через компоненты вектора перемещения а затем применяем формулу Остроградского-Гаусса. Замечая при этом, что индексы расположены симметрично, находим

На основании равенств (2.4.4) и (2.4.5) окончательно получаем

где поверхностный интеграл распространяется на всю поверхность тела.

Уравнение (2.418) обобщает известную вариационную формулу Кастилиано [23]; роль плотности энергии деформации в формуле (2.4.8) играет плотность термодинамического потенциала Гиббса, взятая со знаком «минус» [62]. Если при вариации напряженного состояния выполняется условие о неизменяемости внешних поверхностных сил то

Эта формула обобщает известный принцип минимума потенциальной энергии деформации.