§ 5.4. Соотношения между усилиями, моментами и деформациями

Деформации оболочки слагаются из упругих деформаций, обусловленных напряжениями, и деформаций, вызванных изменением температуры, т. е. так называемых чисто тепловых деформаций.

Чисто тепловая деформация в некоторой точке оболочки, возникающая при изменении температуры в этой точке на величину температура оболочки в ненапряженном состоянии), характеризуется чисто тепловым относительным удлинением где а — коэффициент линейного теплового расширения.

Если необходимо учесть зависимость а. от температуры, то а рассматриваем как заданную функцию координат в фиксированный момент времени; при этом под а понимаем среднее значение коэффициента линейного теплового расширения в интервале между и

Из гипотезы о неизменяемости нормального элемента следует, что соотношения теории упругости, связывающие деформацию сдвига и относительное удлинение с соответствующими напряжениями, могут быть с учетом чисто тепловой деформации заменены равенствами

Касательное напряжение и соответствующее ему поперечное усилие являются чисто статическими факторами и определяются из уравнений равновесия.

В соответствии с исходными допущениями теории оболочек предполагается, что нормальные напряжения а на площадках пренебрежимо малы по сравнению с другими напряжениями.

Таким образом, применяя для упругих деформаций известные соотношения, вытекающие из закона Гука для двумерного напряженного состояния, и учитывая чисто тепловые относительные удлинения, имеем следующие соотношения между деформациями на расстоянии от срединной поверхности и соответствующими напряжениями:

где модуль упругости; коэффициент Пуассона.

Обе части равенств (5.4.1) умножаем сначала на а затем на и интегрируем в пределах от предполагая модуль упругости постоянным по толщине оболочки.

Вводя вместо деформаций их выражения (5.2.16) через деформации срединной поверхности, а вместо напряжений — усилия и моменты по формулам (5.3.1), находим

где

Величины и являются обобщенными чисто тепловыми деформациями; в случае линейного изменения по толщине оболочки чисто тепловое относительное удлинение срединной поверхности, а — изменение ее кривизны, обусловленное тепловым расширением.

Определяя из выражений (5.4.2) и (5.4.3) усилия и моменты, получаем следующие соотношения между усилиями, моментами и деформациями срединной поверхности:

где — цилиндрическая жесткость растяжения оболочки; цилиндрическая жесткость изгиба обо лочки.

На основании формул (5.2.16) и (5.4.1) -(5.4.3) получаем выражения для напряжений в оболочке: