Глава первая. Термодинамические основы термоупругости

§ 1.1. Общие замечания. Обозначения

Термоупругость занимается вопросами равновесия тела как термодинамической системы, взаимодействие которой с окружающей средой заключается лишь в механической работе внешних сил и теплообмене.

Тело, как и в классической теории упругости, рассматривается в виде материального континуума, обладающего свойствами идеальной упругости, однородности и изотропии.

В термоупругости используются положения механики континуума, известные из линейной теории упругости. В сжатой форме они излагаются в § 1.2.

Состояние термодинамической системы определяется конечным числом независимых переменных — макроскопических величин, называемых термодинамическими параметрами.

Одним из независимых макроскопических параметров термодинамической системы, отличающим ее от механической, является температура как мера интенсивности теплового движения.

Изменение температуры тела может происходить как в результате подвода тепла от внешнего источника, так и за счет самого процесса деформирования.

Связь деформации с температурой устанавливается с помощью законов термодинамики.

Непосредственное применение законов классической термодинамики для изучения процесса деформирования тела возможно только для обратимых процессов.

Реальный процесс термоупругого деформирования тела, строго говоря, является неравновесным процессом, необратимость которого обусловливается градиентом температуры.

Созданная в последние годы макроскопическая теория необратимых процессов позволяет более строго поставить задачу о необратимом процессе деформировании.

Так как термодинамика необратимых процессов основана на обобщении классической термодинамики, то в настоящей главе сначала (§ 1.3) рассматриваются основные положения термодинамики обратимых процессов, а затем (§ 1.4) — принципы термодинамики необратимых процессов.

Далее (§ 1.5) излагается термодинамический подход к выводу соотношений между напряжениями и деформациями, содержащих температурные члены. С другой стороны, в рамках термодинамики линейных необратимых процессов дается вывод уравнения теплопроводности с членом, зависящим от деформации. Полученная система уравнений описывает так называемую связанную задачу термоупругости, в которой температурное поле и поле деформаций рассматриваются связанными между собой.

Постановка и представление общего решения связанной задачи термоупругости рассматриваются в § 1.6.

В общем случае нахождение точных решений связанных задач термоупругости, представляющих собой сочетание задач динамической теории упругости и нестационарной теплопроводности, наталкивается на значительные математические затруднения.

Вариационный принцип (§ 1.7), разработанный на основе термодинамики необратимых процессов, позволяет развить приближенные методы решения этих задач. В этой и в следующей главах для упрощения записи применяются индексное обозначение и правило суммирования по повторяющимся индексам, принятые в тензорном анализе.

Оси в декартовой системе координат обозначаются через или в более компактной форме через ). Вектор а с компонентами обозначается через В этом смысле вектор перемещения и в упругом теле означает вектор с компонентами . Напряженное и деформированное состояния упругого тела определяются соответственно тензорами второго ранга и гц ). Символы означают величины с девятью компонентами.

Индексы обозначаются малыми латинскими буквами. Повторяющийся индекс называется немым. Индекс, который в одночленном выражении не повторяется, называется свободным. Для них вводятся следующие два условия.

1. Повторяющийся индекс означает суммирование от 1 до 3.

Например, скалярное произведение двух векторов

инвариант тензора напряжения

Применение для повторяющихся индексов какой-нибудь специальной буквы не требуется; для удобства ее можно заменить любой малой латинской буквой.

2. Свободные индексы пробегают значения от 1 до 3.

Например, символ означает любой из девяти компонентов

Антисимметричный единичный тензор третьего ранга обозначается через Он является антисимметричным тензором относительно трех индексов, т. е. таким тензором, у которого при перемене мест любых двух индексов составляющие изменяются по знаку, но не по абсолютному значению.

Из 27 его компонентов отличны от нуля только те шесть, у которых индексы образуют какую-либо перестановку чисел 1, 2, 3. Составляющие могут иметь только три следующих значения: О, когда любые два индекса равны; когда является четной (цикличной) перестановкой чисел 1, 2, 3; —1, когда является нечетной перестановкой чисел 1, 2, 3. На основании этого определения устанавливаются равенства

Если образовать произведение двух единичных тензоров третьего ранга а затем свернуть результат произведения по индексам (приравнять их), то получим единичный тензор четвертого ранга

компоненты которого имеют следующие значения:

0, когда или

1, когда представляют собой одни и те же перестановки одних и тех же двух чисел но

— 1, когда представляют собой противоположные перестановки одних и тех же двух чисел но

Этот результат записывается в виде

где символ Кронекера, обладающий следующим свойством:

с помощью единичного вектора можно определять векторное произведение двух векторов. Например, векторное произведение является вектором с с компонентами

или в развернутом обозначении

Дифференцирование по определенной координате обозначается запятой на уровне индексов с одновременным индексным обозначением соответствующей координаты. Например,

Частные производные по времени обозначаются точками сверху. Например,

Начиная с третьей главы индексное обозначение и правило суммирования по повторяющимся индексам не применяются.

Все формулы пишутся в развернутом виде. Координаты обозначаются соответственно через эти же обозначения применяются в качестве индексов для компонентов тензора напряжения и деформации. Например, вместо пишутся соответственно

Компоненты вектора перемещения обозначаются через Другие обозначения приводятся в процессе изложения.