Глава пятая. Термоупругость оболочек вращения

§ 5.1. Общие замечания. Основные формулы теории поверхностей

Рассмотрим тонкостенную оболочку вращения постоянной толщины под действием внещних контурных сил и температурного поля, распределенных симметрично относительно ее оси.

Срединная поверхность такой оболочки представляет собой поверхность вращения, линиями главных кривизн которой являются меридианы и параллели где - угол между плоскостями рассматриваемого и начального меридиана, длина меридиана, отсчитываемая от некоторой начальной точки (рис. 19).

Первый главный радиус кривизны срединной поверхности является радиусом кривизны меридиана. Второй главный радиус кривизны равен длине отрезка нормали к срединной поверхности, заключенного между этой поверхностью и ее осью. Радиус параллели связан с радиусом кривизны соотношением

где угол между нормалью к срединной поверхности и осью вращения (см. рис. 19).

Температурное поле предполагается двумерным и в общем случае нестационарным меридиональная координата; 2 — координата, отсчитываемая от срединной поверхности в сторону ее внешней нормали).

Задача термоупругости оболочки рассматривается в квазистатической постановке, а поэтому время здесь играет роль параметра.

применяя гипотезу о неизменяемости нормального элемента, можно задачу о деформации оболочки свести к задаче о деформации ее срединной поверхности. Исследование такой задачи удобно проводить методами дифференциальной геометрии.

Положение какой-либо точки срединной поверхности определяется координатами (рис. 19).

Рис. 19.

Введем в рассмотрение так называемый сопровождающий точку трехгранник единичных взаимно ортогональных векторов образующих правую систему; является единичным вектором касательной к меридиану, направленным в сторону возрастания единичным вектором касательной к параллели, направленным в сторону возрастания 6, и единичным вектором внешней нормали к срединной поверхности.

Между векторами существуют соотношения

где косой крест обозначает векторное произведение.

Учитывая, что первая производная радиуса-вектора по длине дуги равна единичному вектору касательной, получаем

в дальнейшем нам понадобятся формулы для производных единичных векторов по длине дуг линий главных кривизн.

Из дифференциальной геометрии известно, что первая производная единичного вектора по длине дуги есть вектор, который имеет модуль, равный кривизне кривой, и направлен по главной нормали этой кривой в сторону ее вогнутости.

Предполагаем, что в рассматриваемом случае меридиан обращен вогнутостью к оси оболочки. Тогда, учитывая, что главная нормаль плоской кривой лежит в ее плоскости, находим

где единичный вектор, направленный по радиусу параллельного круга (рис. 19).

Вектор может быть разложен на две составляющие по направлениям векторов и представлен в виде

Подставляя выражение для во вторую из формул (5.1.6), имеем

При движении вершины трехгранника по меридиану вектор не изменяет своего направления. Следовательно,

Дифференцируем векторное произведение (5.1.4) по координате

Применяя первую из формул (5.1.6) и формулу (5.1.8) и учитывая, что от перестановки множителей векторное произведение меняет знак, переписываем последнее равенство в виде

Дифференцируя векторное произведение (5.1.2) по координате и используя формулу (5.1.7), получаем

принимая во внимание, что векторы параллельны, и учитывая свойства векторных произведений, находим

Аналогичным образом определим

Полная таблица производных единичных векторов принимает вид

Выведем еще дифференциальное соотношение между радиусами кривизны оболочки вращения, которое потребуется в дальнейшем.

Из рис. 20 видно, что Подставляя в это равенство получаем известное условие Кодацци — Гаусса для поверхности вращения:

Теория деформаций и вывод уравнений равновесия оболочек нращения, опирающиеся на методы дифференциальной геометрии, рассматриваются в § 5.2 и 5.3.

Соотношения между усилиями, моментами и деформациями, учитывающие температурные члены, приводятся в § 5.4.

Вывод разрешающего уравнения, описывающего задачу о термоупругом равновесии оболочек вращения канонических форм (конической, сферической, торообразной), дается в § 5.5.

С помощью статико-геометрической аналогии и комплексного преобразования уравнений теории оболочек рассматриваемая задача сводится к решению одного комплексного дифференциального уравнения второго порядка относительно комплексной функции меридиональное усилие; изменение кривизны в направлении параллели; комплексная постоянная).

Рис. 20.

Анализ граничных условий излагается в § 5.6.

Построение решений разрешающих уравнений приводится только для конической и сферической оболочек вращения (§ 5.7 и 5.8). Термоупругая задача для цилиндрической оболочки, детально освещенная в работах [31, 42] и др" здесь не рассматривается.

Для конической и сферической оболочек выводятся частные решения для всех усилий, моментов и перемещений, необходимые для расчета тепловых напряжений; при этом особое внимание уделяется построению точных решений в специальных функциях (бесселевых, гипергеометрических).