Глава шестая. Осесимметричная задача термоупругости

§ 6.1. Основные уравнения

Рассмотрим тепловые напряжения в телах вращения, обусловленные симметричным относительно оси вращения температурным полем. Осесимметричному температурному полю в телах вращения отвечает осесимметричное напряженное состояние.

Напряженное состояние таких тел вращения, как цилиндр или сфера, удобно изучать в цилиндрических или сферических координатах (см. рис. 5 и 7).

Если ось вращения совпадает с осью то в силу симметрии термоупругой деформации относительно оси все компоненты тензора напряжения не зависят от угла

Для исследования таких задач в квазистатической постановке используем представление общего решения в форме Папковича (§ 2.2)

в котором скалярная функция гармонический вектор В и гармонический скаляр Во, определяемые соответственно формулами (2.2.8), (2.2.5) и (2.2.6), являются функциями только двух координат. При использовании этого решения следует иметь в виду, что в системе криволинейных координат компоненты гармонического вектора В не удовлетворяют уравнениям Лапласа. Применяя известное из векторного анализа 18] тождество, определяем их из векторного уравнения

Ниже приводим формулы, необходимые для исследования осесимметричной задачи термоупругости в цилиндрических и сферических координатах.

Цилиндрические координаты. При осевой симметрии напряженного состояния компоненты вектора перемещения тензора деформации и в и тензора напряжения обращаются в нуль (§ 2.6).

Компоненты вектора перемещения и в направлениях единичных векторов (рис. 5) имеют вид

где

Уравнение Пуассона (2.2.8) для скалярной функции в рассматриваемом случае принимает вид

где — температура тела в ненапряженном состоянии.

Функции решении (6.1.4) являются компонентами гармонического вектора В в направлениях единичных векторов (рис. 5).

Выполняя в уравнении (6.1.2) векторные операции по формулам и учитывая, что все производные по 6 обращаются в нуль, получаем для определения следующие уравнения:

Заметим, что уравнение (6.1.7), которому удовлетворяет В, не является уравнением Лапласа.

Уравнение Лапласа для гармонического скаляра Во (2.2.6) в цилиндрических координатах имеет вид

Используя соотношения (2.6.5) и (1.5.11) и принимая во внимание уравнение (6.1.6), находим следующие выражения для деформаций и напряжений:

где

Сферические координаты. При осесимметричном напряженном состоянии компоненты вектора перемещения Не, тензора деформации тензора напряжения равны нулю (§ 2.6).

Компоненты вектора перемещения имеют вид

где

Здесь компоненты гармонического вектора В в направлениях единичных векторов (рис. 7).

Используя выражение (2.6.10) для оператора Лапласа в сферических координатах, для определения термоупругого потенциала получаем следующее уравнение:

Для составления уравнений для В, и В используем опять векторное уравнение (6.1.2). Выполняя в нем векторные операции по формулам (2.6.7) — (2.6.9), получаем следующие уравнения:

где

Уравнения (6.1.20) для функций оказались связанными.

С помощью несложных преобразований можно решение системы уравнений (6.1.20) свести к решению двух независимых уравнений относительно и

Применяя операцию к уравнению (6.1.2) и учитывая, что

находим, что является гармонической функцией, удовлетворяющей уравнению

Операция примененная к уравнению (6.1.2), приводит к следующему уравнению для функции со:

При нахождении уравнения (6.1.23) операцию вычисляем с помощью формулы (2.6.9) и учитываем, что

Найдя решения уравнений (6.1.22) и (6.1.23), для определения и получаем систему двух уравнений первого порядка (6.1.21). Уравнение для гармонической функции Во, входящей в решение (6.1.18), принимает вид

Деформации и напряжения определяются по формулам

где

(см. скан)

в качестве примеров, иллюстрирующих применение общего решения (6.1.1), в настоящей главе рассматривается определение тепловых напряжений в цилиндре конечной длины (§ 6.2) и в полой сфере (§ 6.3) при заданных температурных полях.