§ 4.3. Тепловые напряжения в диске и цилиндре при плоском осесимметричном температурном поле

Рассмотрим сначала задачу о плоском осесимметричном напряженном состоянии тонкого круглого диска с радиусом наружного контура и радиусом центрального отверстия Такое напряженное состояние диска возникает при плоском осесимметричном температурном поле

Температурное поле предполагается известным из опыта или из решения соответствующей задачи теплопроводности. Используя первое из уравнений (4.1.12) и заменяя в нем в соответствии с равенствами (4.1.13) и на получаем следующее разрешающее уравнение рассматриваемой задачи:

где радиальное перемещение диска.

Общее решение уравнения (4.3.1) имеет вид

где постоянные интегрирования.

Зная и, вычисляем по формулам (4.1.36) и (4.1.37) соответствующие напряжения

при отсутствии контурных усилий постоянные интегрирования определяем из условия

Определяя постоянные интегрирования, находим

Полагая в решениях получаем соответствующие решения для сплошного диска. Возникающие в этих решениях неопределенности раскрываются по правилу Лопиталя следующим образом:

при этом температура в центре диска предполагается конечной.

Заменяя в решениях а на получаем выражения для тепловых напряжений и радиального перемещения и в длинном полом цилиндре в случае его плоской осесимметричной деформации, обусловленной плоским температурным полем

Тепловое напряжение о в полом цилиндре определяем по формуле (4.1.2) в виде выражения

Это напряжение возникает в цилиндре в том случае, когда его торцевые поверхности закреплены от осевого перемещения

Если торцевые поверхности цилиндра свободны от напряжений, то в соответствии с принципом Сен-Венана тепловое напряжение в осевом направлении определяется по формуле

где постоянная продольная деформация цилиндра; о — напряжение в цилиндре при определяемое выражением (4.3.7).

Деформация подбирается так, чтобы равнодействующая напряжений, действующих на торцевой поверхности цилиндра, обращалась в нуль. Она имеет значение

Подставляя величины (4.3.7) и (4.3.9) в формулу (4.3.8), получаем

Исключая перемещения цилиндра как твердого тела, для цилиндра, у которого торцевые поверхности свободны от напряжений, из равенства (4.3.9) находим следующую величину перемещения в осевом направлении:

Исследованиям тепловых напряжений в дисках и цилиндрах посвящена обширная литература. Ранними работами в этой области являются работы Лоренца [63] и А. Н. Динника [11]. Современное состояние исследований по напряжениям в дисках и цилиндрах излагается в книге [54].