§ 5.2. Деформации оболочки

При температурном поле и внешних контурных силах, симметричных относительно оси оболочки вращения, ее срединная поверхность при деформации остается поверхностью вращения; все точки поверхности перемещаются в своих меридиональных плоскостях.

Деформация срединной поверхности в этом случае характеризуется четырьмя величинами: относительными удлинениями в направлениях меридиана и параллели и изменениями кривизны в направлениях меридиана и параллели.

Установим зависимости между деформациями и перемещениями срединной поверхности.

Обозначим проекции вектора перемещения на направления единичных векторов в произвольной точке срединной поверхности через Положение этой точки до деформации определяется радиусом-вектором а после деформации — радиусом-вектором

Единичные векторы касательных к меридиану и параллели деформированной срединной поверхности в соответствии с выражениями (5.1.5)

где - элементы дуг меридиана и параллели после деформации. Эти элементы можно представить выражениями

где относительные удлинения в направлениях меридиана и параллели.

Подставляя выражение (5.2.1) в (5.2.2) и принимая во внимание выражения (5.2.3), получаем

При написании второго из равенств (5.2.4) учитываем, что в силу симметричной деформации

Заменяя в равенствах (5.2.4) производные единичных векторов их выражениями (5.1.12) и учитывая формулы (5.1.5), получаем

Из равенств (5.2.4) видно, что величина является длиной вектора величина длинои вектора Так как квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций на направления то

Отбрасывая величины второго порядка малости, находим

Из сравнения вторых из равенств (5.2.4) и (5.2.5) получаем

Линейный элемент оболочки, имеющий до деформации направление после деформации получает направление единичного вектора внешней нормали к деформированной поверхности Этот вектор может быть найден как векторное произведение векторов Используя при вычислении векторного произведения выражения (5.2.7), (5.2.9) и (5.1.2), (5.1.4) и учитывая, что от перестановки сомножителей векторное произведение изменяет знак, находим

где

Величина 8 является проекцией единичного вектора нормали к деформированной срединной поверхности на направление и равна малому углу поворота нормали к срединной поверхности вокруг оси

Положение любой точки тела оболочки определяется координатами где координата равная отрезку отсчитывается от срединной поверхности в направлении единичного вектора Поверхность представляет собой поверхность вращения, равноотстоящую от срединной поверхности, так называемую параллельную поверхность. Радиусы кривизны параллельной поверхности равны

Рис. 21.

Зная угол поворота (5.2.11) нормали к срединной поверхности при ее деформации, находим в соответствии с исходными допущениями теории тонких оболочек следующие зависимости между перемещениями в точке на расстоянии от срединной поверхности и перемещениями в соответствующей точке срединной поверхности (рис. 21):

Заменяя в формулах (5.2.6) и (5.2.8) и, и, — на получаем следующие выражения для относительных удлинений и в точке на

расстоянии от соответствующей точки срединной поверхкссти

где

Известно, что исходные допущения теории оболочек вызывают погрешность — по сравнению с единицей [37]. Поэтому при вычислении деформаций нет смысла принимать во внимание члены порядка — по сравнению с единицеи.

Пренебрегая в формулах (5.2.13) членами указанного порядка, получаем выражения для деформаций в более простом виде:

С точностью до погрешности исходных допущений теории оболочек величины представляют собой изменения кривизны срединной поверхности соответственно в меридиональном сечении и в другом главном нормальном сечении, проходящем через касательную к параллели и нормаль к меридиану.

Положительные значения изменений кривизны соответствуют положительным значениям и на поверхности оболочки

Для осесимметрично деформированной оболочки вращения существуют два уравнения совместности деформаций, являющиеся частным случаем уравнений совместности деформаций общей теории оболочек [6]:

Уравнения (5.2.17) удовлетворяются тождественно при замене деформаций срединной поверхности их выражениями в перемещениях и, и по формулам (5.2.6), (5.2.8), (5.2.14), (5.2.15).