Введение

Термоупругость в последние годы получила существенное развитие в связи с важными проблемами, возникающими при разработке новых конструкций паровых и газовых турбин, реактивных и ракетных двигателей, высокоскоростных самолетов, ядерных реакторов и др.

В результате подвода тепла от газового потока в тепловом двигателе, аэродинамического нагрева в высокоскоростном самолете, выделения тепла в атомном реакторе и т. д. элементы этих конструкций работают в условиях неравномерного нестационарного нагрева, при котором изменяются физико-механические свойства материалов и возникают градиенты температуры, сопровождающиеся неодинаковым тепловым расширением отдельных частей конструкций.

Неравномерное топловое расширение, вообще, не может происходить свободно в сплошном теле и вызывает тепловые (термические, температурные) напряжения.

Знание величины и характера действия тепловых напряжений необходимо для всестороннего анализа прочности конструкции.

Тепловые напряжения сами по себе и в сочетании с механическими напряжениями от внешних сил могут вызвать появление трещин и разрушение конструкций из материалов с повышенной хрупкостью.

Некоторые материалы при быстром появлении напряжений, обусловленном действием резкого градиента нестационарного температурного поля, становятся хрупкими и не выдерживают теплового удара. Повторное действие тепловых напряжений приводит к термоусталости элементов конструкций.

в результате действия тепловых напряжений может возникнуть существенная пластическая деформация, ведущая к полному или прогрессирующему разрушению конструкции, произойти термовыпучивание тонкостенных конструкций и т. п.

В общем случае изменение температуры тела происходит не только за счет подвода тепла от внешних источников, но также и за счет самого процесса деформирования. При деформациях тела, протекающих с конечной скоростью, имеют значение термомеханические эффекты другого рода: образование и движение тепловых потоков внутри тела, возникновение в нем связанных упругих и тепловых волн, термоупругое рассеяние энергии и др.

Настоящая книга посвящена теории термоупругости, основанной на применении принципов термодинамики к процессу деформирования.

Книга не содержит исчерпывающего изложения основ термоупругости. Целью книги является сжатое изложение основных принципов и методов термоупругости, охватывающих следующие ее разделы: теплопроводность, термоупругие деформации и напряжения, вызванные передачей тепла от внешних источников, и термоупругие эффекты, обусловленные процессом деформирования.

Книга состоит из семи глав.

Первая глава посвящена термодинамическим основам термоупругости. Изложение начинается с основных положений классической термодинамики. При рассмотрении второго закона термодинамики предпочтение дается новой его формулировке, разработанной профессором Киевского университета Н. И. Шиллером в 1897-1901 гг., немецким математиком Каратеодори в 1909 г. и Т. А. Афанасьевой-Эренфест в 1925-1928 гг. Эта формулировка устанавливает общий эмпирический принцип о невозможности определенных процессов — принцип адиабатической недостижимости, удобный для математического выражения второго закона термодинамики в случае термодинамических систем, состояние которых определяется большим числом независимых переменных (деформируемых твердых тел и др.).

Теория необратимых процессов изложена в объеме, необходимом для изучения термодинамики деформирования неравномерно нагретого тела, обладающего свойствами идеальной упругости, однородности и изотропии.

Для вывода соотношений между напряжениями и деформациями, выражений для энтропии и связанного уравнения теплопроводности используется метод термодинамических функций, разработанный Гиббсом в 1875-1878 гг.

Вывод основных уравнений, постановка и представление общего решения задачи термоупругости даются для самого общего случая: учитываются связь между полями деформаций и

температурными полями, являющаяся следствием законов термодинамики, а также силы инерции, возникающие от действия нестационарного нагрева или внешних сил.

Вывод уравнения теплопроводности с членом, зависящим от деформации, приводится в рамках термодинамики линейных необратимых процессов, т. е. в предположении небольшого отклонения термодинамической системы от равновесного состояния.

В заключение первой главы на основе термодинамики линейных необратимых процессов рассматривается вариационный принцип для связанной задачи термоупругости, позволяющий развить приближенные методы решения связанных задач динамической теории упругости и нестационарной теплопроводности.

Во второй главе рассматриваются основные уравнения задачи термоупругости в квазистатической постановке, когда не учитываются связывающий член в уравнении теплопроводности и инерционные члены в уравнениях равновесия. Рассмотрение этого вопроса в специальной главе оправдывается тем, что квазистатическая задача термоупругости имеет наибольшее практическое значение; в обычных условиях теплообмена тепловые потоки, образующиеся вследствие деформации, и динамические эффекты, обусловленные нестационарным нагревом, настолько невелики, что соответствующие члены в уравнениях могут быть отброшены и система уравнений распадается на обычное уравнение нестационарной теплопроводности и уравнения, описывающие статическую задачу о термоупругих напряжениях при заданном температурном поле, вызванном внешними источниками тепла. Здесь при изложении постановки квазистатической задачи термоупругости в перемещениях представление общего решения выбрано в форме, полученной П. Ф. Папковичем в 1932-1937 гг. В этой форме решение однородного уравнения для вектора перемещения содержит произвольные гармонические вектор и скаляр, а частное решение соответствующего неоднородного уравнения, отвечающего заданному температурному полю, определяется через скалярную функцию, получившую название термоупругого потенциала перемещений, которая удовлетворяет уравнению Пуассона.

Формулировка квазистатической задачи термоупругости в напряжениях дается как для односвязиых, так и для многосвязных тел.

В связи с методами исследования тепловых напряжений во второй главе рассматривается аналогия между задачей термоупругости и соответствующей задачей изотермической теории упругости при фиктивных объемных и поверхностных силах, излагаются вариационные принципы для задач термоупругости, являющиеся обобщениями вариационного уравнения Лагранжа

и вариационного принципа Кастильяно для изотермической теории упругости, и дается обобщение теоремы о взаимности работ на случай задачи термоупругости, полученное В. М. Майзелем в 1941 г.

Третья глава содержит основные сведения по теории теплопроводности, необходимые для исследования температурных полей и соответствующих им тепловых напряжений в квазистатической постановке. В ней рассматриваются способы теплопередачи на поверхности тела, выводятся основные уравнения стационарной и нестационарной теплопроводности при отсутствии и наличии источников тепла, формулируются идеализированные граничные условия и исследуются отдельные задачи о стационарных и нестационарных температурных полях в пластинах, дисках и цилиндрах, имеющие практическую целенаправленность и иллюстрирующие применение основных методов теории теплопроводности.

Четвертая, пятая и шестая главы относятся к отдельным классам квазистатических задач термоупругости.

В четвертой главе излагается общая постановка плоской задачи термоупругости в перемещениях и напряжениях; при этом особое внимание уделяется формулировке плоской задачи термоупругости в напряжениях для многосвязной области в связи с изучением термонапряженности плоских многосвязных тел. Здесь дается подробный вывод условий однозначности для перемещений и углов поворота, выясняется связь их неоднозначности с дислокационными напряжениями и приводится аналогия между плоской задачей термоупругости для многосвязных тел при стационарном температурном поле и соответствующей плоской задачей изотермической теории упругости с дислокациями, установленная Н. И. Мусхелишвили в 1916 г.

В качестве примеров, иллюстрирующих применение методов решения плоских задач термоупругости, рассматривается определение тепловых напряжений в диске и цилиндре при плоском осесимметричном (стационарном и нестационарном) температурном поле и при плоском неосесимметричном стационарном температурном поле.

Четвертая глава завершается точным решением задачи об осесимметричном растяжении и изгибе круглой пластины, вызванных стационарным осесимметричным температурным полем, при нахождении которого используется аналогия между задачей о плоском осесимметричном напряженном состоянии и задачей об осесимметричном изгибе круглой пластины.

Пятая глава посвящена термоупругости оболочек вращения. В ней рассматривается общая теория оболочек вращения при температурном поле, симметричном относительно оси оболочки, но изменяющемся по любому закону вдоль ее меридиана и по толщине; при этом используются результаты изотермической

теории оболочек, содержащиеся в известных монографиях А. Л. Гольденвейзера, А. И. Лурье, В. В. Новожилова и др.

Для оболочек вращения, обладающих постоянной кривизной меридиана, рассматриваемая задача с помощью статико-геометрической аналогии и комплексного преобразования уравнений оболочек сводится к нахождению комплексной разрешающей функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению второго порядка. В случаях конической и сферической оболочек приводятся точные решения в специальных функциях для всех усилий, моментов и перемещений, необходимые для расчета тепловых напряжений.

В шестой главе на основе представления общего решения уравнений теории упругости в перемещениях в форме П. Ф. Папковича исследуются осесимметричные задачи термоупругости для цилиндра и полой сферы при заданных температурных полях (стационарных или нестационарных). Функциональный произвол в представлении общего решения здесь используется так, чтобы наиболее просто удовлетворить граничным условиям.

В случае цилиндра конечной длины применяется наложение решений для бесконечного цилиндра и слоя; удовлетворение граничных условий на цилиндрической поверхности и торцах цилиндра приводит к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, эффективное решение которой может быть получено методом Б. М. Кояловича.

В случае сферы нахождение функций, входящих в представление общего решения, сводится к решению векторного уравнения Лапласа, которое в отличие от уравнения в декартовых и цилиндрических координатах не распадается на отдельные уравнения относительно компонентов вектора. Для произвольного температурного поля решение задачи о тепловых напряжениях в сфере приводится к решению систем алгебраических уравнений, каждая из которых состоит из четырех уравнений.

Наконец, в седьмой главе рассматриваются динамические задачи термоупругости о динамических эффектах в телах, подверженных действию импульсивных тепловых потоков, и связанные задачи термоупругости о колебательных процессах, сопровождающихся выделением тепла, распространением связанных упругих и тепловых волн и термоупругим рассеянием энергии. Оба указанных класса задач сводятся к исследованию волновых уравнений.

В качестве основной динамической задачи термоупругости выбирается задача о тепловом ударе на поверхности полупространства, впервые исследованная методами операционного исчисления В. И. Даниловской в 1950 г. Эта задача, обладающая сравнительно простым решением, охватывает особенности распространения динамических тепловых напряжений, типичных для рассматриваемого типа задач (тепловой удар на

поверхности цилиндра, сферы и др.). Приводится также решение характерной для тонкостенной конструкции задачи о колебаниях прямоугольной пластины, вызванных тепловым ударом на ее поверхности.

В качестве основной связанной задачи термоупругости рассматривается распространение плоских гармонических волн расширения в неограниченноти сплошном теле. Здесь для модифицированной под влиянием тепла упругой волны приводятся соотношения, выражающие изменение ее фазовой скорости, затухание амплитуды и относительное рассеяние энергии.

Другая связанная задача термоупругости, рассмотренная в этой главе и требующая привлечения кроме потенциальной также и соленоидальной части общего решения, относится к движению продольных волн в бесконечно длинном сплошном цилиндре.