§ 23. Потенциальная энергия взаимодействия

До сих пор мы рассматривали системы невзаимодействующих частиц. Теперь перейдем к рассмотрению системы из двух взаимодействующих друг с другом частиц.

Обозначим силу, с которой вторая частица действует на первую, символом а силу, с которой первая частица действует на вторую, — символом . В соответствии с третьим законом Ньютона

Введем вектор где и — радиусы-векторы частиц (рис. 23.1). Расстояние между частицами равно модулю этого вектора. Допустим, что силы имеют величину, зависящую только от расстояния между частицами, и направлены вдоль соединяющей частицы прямой.

Рис. 23.1.

Рис. 23.2.

Это, как мы знаем, справедливо для сил гравитационного и кулоновского взаимодействий (см. формулы (11.2) и (13.1)).

При сделанных допущениях силы можно представить в виде

где — орт вектора (рис. 23.2), — некоторая функция положительная в случае взаимного притяжения частиц и отрицательная в случае их отталкивания друг от друга.

Считая систему замкнутой (внешних сил нет), напишем уравнения движения обеих частиц:

Умножим первое уравнение на второе — на и сложим их вместе. В результате получится соотношение

Левая часть этого соотношения представляет собой приращение кинетической энергии системы за время (см. (19.3)), правая часть — работу внутренних сил за то же время.

С учетом выражений (23.1) правую часть формулы (23.2) можно преобразовать следующим образом:

(23.3)

Из рис. 23.2 видно, что скалярное произведение равно — приращению расстояния между частицами.

Таким образом,

(23.4)

Выражение можно рассматривать как приращение некоторой функции от Обозначив эту функцию через придем к равенству

Следовательно,

С учетом всего сказанного выражение (23.2) можно представить в виде

откуда следует, что величина для рассматриваемой замкнутой системы сохраняется. Функция представляет собой потенциальную энергию взаимодействия. Она зависит от расстояния между частицами.

Пусть частицы переместились из положений, в которых расстояние между ними было равно в новые положения, в которых расстояние между ними стало равным В соответствии (23.6) внутренние силы. совершают при этом над частицами работу

Из (23.8) вытекает, что работа сил (23.1) не зависит от путей, до которым перемещались частицы, и определяется лишь начальным и конечным расстояниями между частицами (начальной и конечной конфигурациями системы). Таким образом, силы взаимодействия вида (23-1) являются консервативными.

Если движутся обе частицы, полная энергия системы равна

Предположим, что частица 1 закреплена в некоторой точке, которую мы примем за начало, координат . В результате эта частица утратит возможность двигаться так что кинетическая энергия будет состоять лишь из одного слагаемого Потенциальная энергия в этом случае будет функцией только Поэтому выражение (23.9) примет вид

(23.10)

Если рассматривать систему, состоящую из одной только частицы 2, то функция будет играть роль потенциальной энергии частицы 2 в поле сил, создаваемых частицей 1

Хотя по существу эта функция является потенциальной энергией взаимодействия частиц 1 и 2. Вообще потенциальная энергия во внешнем поле сил по существу является энергией взаимодействия между телами системы и телами, создающими внешнее по отношению к системе силовое поле.

Обратимся снова к системе из двух взаимодействующих свободных («незакрепленных») частиц. Если на первую частицу, кроме внутренней силы, действует внешцяя сила F, а на вторую частицу — сила , то в правой части соотношения (23.2) появятся слагаемые которые в сумме дадут работу внешних сил Соответственно формула (23.7) примет вид

(23.11)

В случае, когда суммарная кинетическая энергия частиц остается постоянной (например, равной нулю), соотношение (23.11) выглядит следующим образом:

(23.12)

Проинтегрировав это соотношение от конфигурации а до конфигурации получим, что

(23.13)

(ср. с формулой (22.13))

Распространим полученные результаты на систему из трех взаимодействующих частиц. В этом случае работа внутренних сил равна

Учтя, что придадим выражению (23.14) вид

(23.15)

где

Предположим, что внутренние силы могут быть представлены в виде (ср. с (23.1)). Тогда

Каждое из произведений равно приращению расстояния между соответствующими частицами Поэтому

(23.16)

Здесь

(23.17)

— потенциальная энергия взаимодействия системы.

Она слагается из энергий взаимодействия частиц, взятых попарно.

Приравняв сумме работ придем к соотношению (23.11), в котором под следует понимать выражение (23.17).

Полученный результат легко обобщается на систему с любым числом частиц. Для системы из N взаимодействующих. частиц потенциальная энергия взаимодействия слагается из энергий взаимодействия частиц, взятых попарно:

(23.18)

Эту сумму можно написать следующим образом:

(23.19)

(обратите внимание на то, что в выражении (23.18) у каждого слагаемого первый индекс имеет значение меньшее, чем второй). В связи с тем, что энергию взаимодействия можно представить также в виде

В суммах (23.19) и (23.20) индексы пробегают значения от 1 до N, согласующиеся с условием или

Пусть система состоит из четырех частиц, причем взаимодействуют лишь первая частица со второй и третья с четвертой. Тогда полная энергия системы будет равна

(23.21)

Здесь E — полная энергия подсистемы, образованной частицами 1 и 2, Е" — полная энергия подсистемы, образованной частицами 3 и 4. По предположению взаимодействие между подсистемами отсутствует. Соотношение (23.21) доказывает аддитивность энергии (см. третий абзац § 18).

В заключение найдем вид функции в том случае, когда сила взаимодействия обратно пропорциональна квадрату расстояния между частицами:

( — константа).

Напомним, что в случае притяжения между частицами а в случае отталкивания частиц друг от друга (см. текст, следующий за формулой (23.1)).

В соответствии с (23.5)

Интегрирование дает

(23.23)

Как и потенциальная энергия во внешнем поле сил, потенциальная энергия взаимодействия определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Обычно полагают, что при потенциальная энергия обращается в нуль (при таком расстоянии сила (23.22) обращается в нуль — взаимодействие между частицами исчезает). Тогда аддитивная константа в (23.23) становится равной нулю и выражение для потенциальной энергии взаимодействия приобретает вид

В соответствии с (23.13) для того, чтобы удалить частицы друг от друга от расстояния до бесконечно большого расстояния, не изменяя при этом их скоростей, требуется совершить работу

Подстановка соответствующих значений функции (23.24) приводит к выражению

В случае притяжения между частицами соответственно для удаления частиц друг от друга требуется совершить положительную работу.

В случае отталкивания частиц друг от друга и работа (23.25) оказывается отрицательной. Эту работу приходится совершать, чтобы воспрепятствовать отталкивающимся частицам увеличить скорость своего движения.