Вычисление кинетической энергии твердого тела

Для решения задач при помощи теоремы об изменении кинетической энергии требуется умение вычислять кинетическую энергию и работу сил. Вычисление работы рассмотрено в предыдущих пунктах. Здесь рассмотрим вычисление кинетической энергии.

В общем случае кинетическая энергия системы вычисляется по формуле

Если система состоит из нескольких твердых тел, то кинетическая энергия будет равна сумме кинетических энергий отдельных тел: .

Рассмотрим, как вычисляется кинетическая энергия тела в различных случаях движения. При этом будем исходить из общей формулы для кинетической энергии системы, в которой под будем понимать теперь массы и скорости малых частиц тела, на которые мысленно разбивается движущееся тело.

При поступательном движении скорости всех точек тела геометрически равны: для вычисления кинетической энергии получаем формулу

Так как

(скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля), то в конечном результате содержится модуль v скорости v тела.

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении определяется так же, как для материальной точки с массой и скоростью, равными массе и скорости тела:

Рис. 52.

Рис. 53.

При вращательном движении (рис. 52) будем иметь.

Получено правило: кинетическая энергия тела при его вращении вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости.

При сложном движении тела кинетическую энергию вычисляют при помощи следующей теоремы (теоремы кинетическая энергия механической системы равна кинетической энергии ее центра масс в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, плюс кинетическая энергия системы в ее относительном движении по отношению к осям Кёнига.

Докажем эту теорему. Пусть скорости материальных точек системы относительно неподвижной системы координат Oxyz равны соответственно . Введем вспомогательную систему координат С началом в центре масс системы С и осями, движущимися поступательно вместе с центром масс (рис. 53; на рисунке оси выбраны соответственно параллельными осям ). Как и для твердого тела (см. с. 56 и рис. 32) эти вспомогательные оси называются осями Кёнига. Теперь движение каждой точки системы можно рассматривать как движение сложное, в котором переносным является движение осей Кёнига, а относительным — движение точки по отношению к осям Кёнига. Для скоростей , являющихся абсолютными скоростями, на основании теоремы сложения скоростей можем записать:

Здесь учтено, что при переносном поступательном движении переносные скорости всех точек одинаковы и равны скорости начала по-движной системы координат (в данном случае — скорости центра масс). Подставляя это выражение в формулу для кинетической энергии системы, получаем:

В этой формуле — кинетическая энергия системы в относительном движении по отношению к осям Кёнига; — относительная скорость центра масс по отношению к этим же осям. В силу выбора подвижных осей и из полученного равенства следует

что и доказывает теорему.

При помощи теоремы Кёнига получим формулу для вычисления кинетической энергии при плоскопараллелъном двиэюснии. Примем за полюс центр масс тела, оси Кёнига расположим в плоскости движения, ось — перпендикулярно этой плоскости. Тогда плоскопараллельное движение представится как сумма поступательного движения вместе с осями Кёнига (переносное движение) и вращения вокруг оси с угловой скоростью тела и (относительное движение). Так как относительное движение вращательное, слагаемое в формуле Кёнига определяется по формуле , где — момент инерции тела относительно оси Кёнига, перпендикулярной плоскости движения. После подстановки этого значения в формулу Кёнига, получаем

По этой формуле и следует вычислять кинетическую энергию тела при плоскопараллельном движении.