Лекция 17. Теорема об изменении кинетической энергии

Работа силы

Если изменение количества движения связано с главным вектором приложенных сил, а изменение кинетического момента — с главным моментом этих сил, то изменение кинетической энергии определяется величиной работы, совершенной приложенными силами.

Рис. 38.

Первоначальное понятие работы относится к случаю прямолинейного движения и постоянной силы, действующей в направлении перемещения (рис. 38). В этом случае работой силы называется величина

где F — модуль силы, s — величина перемещения точки приложения силы. Знак плюс берется, если направление силы совпадает с направлением перемещения, знак минус — если эти направления противоположны.

Для постоянной силы, составляющей некоторый угол с направлением перемещения (рис. 39), работа определяется как произведение перемещения на проекцию силы на направление перемещения:

Рис. 39.

Знак плюс или минус определяется знаком . Если (сила направлена под острым углом к направлению перемещения), то работа положительна; если (сила направлена под тупым углом к направлению перемещения), — работа отрицательна.

При (сила перпендикулярна направлению перемещения) работа равна нулю.

Так как , то эту формулу можно представить в виде скалярного произведения вектора силы и вектора перемещения точки приложения силы:

Дальнейшее обобщение понятия работы связано с рассмотрением общего случая, когда сила переменна, а точка приложения силы движется по криволинейной траектории. В этом случае формулу непосредственно применить нельзя. Однако это можно сделать, если рассматривать работу на малых участках траектории, близких к прямолинейным отрезкам, вдоль которых можно пренебречь изменением направления и модуля силы.

Разбивая криволинейный путь точки приложения силы на множество малых участков (рис. 40) и определяя работу на каждом участке по приведенной формуле, путем суммирования находим

Это — приближенное выражение работы переменной силы F на участке траектории Точное значение работы получаем, переходя в этой формуле к пределу при неограниченном увеличении числа участков разбиения . В итоге приходим к общей формуле для вычисления работы в виде криволинейного интеграла

Выражение под знаком интеграла

называется элементарной работой силы. (Обозначение (а не ) обусловлено тем, что соответствующий дифференциальный трехчлен может и не быть полным дифференциалом.) В отличие от элементарной работы интеграл от нее называется полной работой.

Рис. 40.

В технике весьма употребительно понятие мощности, т.е. работы, совершаемой в единицу времени. Для определения мощности источника силы имеем: