Потенциальные силы

В общем случае сила зависит от положения точки, ее скорости и времени:

В отдельных случаях сила может зависеть только от части своих аргументов. В частности, существует класс сил, зависящих только от положения точки в пространстве. Это значит, что известны выражения

определяющие проекции силы на координатные оси как функции координат точки.

Пространство или часть пространства, в каждой точке которых определен некоторый вектор, называется векторным полем. В зависимости от физического смысла вектора это может быть силовое поле, поле скоростей, поле ускорений и т.д. Задание силы, зависящей от положения точки, означает, что при помощи указанных равенств одновременно задается силовое поле.

Если в указанной области пространства существует функция , такая, что проекции силы F равны соответствующим частным производным этой функции —

то сила F называется потенциальной силой, а функция U — силовой функцией. В задачах механики чаще используется функция которая отличается от силовой функции только знаком и называется потенциальной энергией, или потенциалом силы F. При помощи потенциальной энергии проекции потенциальной силы определяются равенствами:

Потенциальные силы обладают одним важным свойством совершаемая ими работа определяется только начальным и конечным положениями точки и не зависит от способа перемещения (формы пути, закона движения) из одного положения в другое. Действительно, вычисляя работу потенциальной силы, находим:

В этой формуле — значение потенциальной энергии в начальном положении точки; то же в конечном положении точки.

Важно заметить, что не всякая сила, зависящая от положения, является потенциальной. Для потенциальности требуется еще выполнение условий существования функции . Эти условия подробно рассматриваются в математике и сводятся к выполнению следующих трех равенств:

Пример. К стержню ОА (рис. 45) приложены три активные силы — вес стержня , упругая сила пружины F и постоянная по модулю сила Р, перпендикулярная к стержню. Определить, какие из этих сил потенциальны, а какие — нет. Жесткость пружины — с, натуральная длина пружины — а, длина стержня .

Рис. 45.

Решение. Изображаем систему в произвольном положении, вводим декартову систему координат . Все силы лежат в плоскости , поэтому из условий потенциальности силы в данном случае остается только первое равенство .

Проекции силы тяжести на выбранные оси равны: . Имеем . Следовательно, , поэтому сила тяжести является потенциальной силой.

Аналогичным образом можно показать, что сила упругости пружины также является потенциальной силой.

Определяем проекции силы Р:

Находим нужные производные:

Видно, что , поэтому сила не является потенциальной. Силы такого типа иногда называют следящими силами.