6.4. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона

Мы исследуем сейчас задачу Коши (6.2). Будем вначале считать, что при каждом причем является непрерывной функцией от t при со значениями в и, более того, бесконечно дифференцируемой функцией от t при значениями в . Как мы увидим ниже, решение с описанными свойствами существует (и в очень широком классе решений единственно). Пока же заметим, что мы можем сделать преобразование Фурье по х, а поскольку оператор преобразования Фурье осуществляет топологический изоморфизм , то его можно менять местами с производной . Итак, пусть

(здесь и в дальнейшем при отсутствии указания области интегрирования подразумевается интеграл по ).

Стандартное интегрирование по частям даёт:

Таким образом, уравнение (6.1) равносильно уравнению

Начальное же условие, очевидно, приобретает вид

где .

Уравнение (6.10) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение по t с параметром Оно легко решается, и мы получим с учётом начального условия (6.11):

Взглянув на эту формулу, мы видим, что действительно является непрерывной при и бесконечно дифференцируемой при функцией от t со значениями в . Поэтому совершая обратное преобразование Фурье, мы получим решение задачи Коши удовлетворяющее описанным выше условиям. Напишем более явную формулу. Имеем:

Меняя порядок интегрирования (это возможно по теореме Фубини), мы получаем:

где

(по существу мы повторили выкладку, доказывающую, что преобразование Фурье переводит умножение в свёртку). Вычислим явно взяв интеграл в (6.14). Для этого нужно выделить полный квадрат в показателе экспоненты:

Делая замену переменных , т. е. сдвигая контур интегрирования по каждому , мы получим:

(мы сделали ещё замену переменных ). Используя формулу

получим окончательно:

Решение задачи Коши записывается в виде

называемом интегралом Пуассона. Проанализируем эту формулу.

Заметим прежде всего, что она имеет смысл для значительно более широкого класса начальных функций , чем класс , с которого мы начинали. Ясно, например, что если непрерывна и

то интеграл в (6.16) сходится при т.е. при При этом сам интеграл и интегралы, полученные из него взятием любых производных по t и сходятся равномерно для , где . Поэтому можно дифференцировать сколько угодно раз под знаком интеграла. Полученная функция будет при указанных значениях t решением уравнения теплопроводности (6.1). В самом деле, достаточно показать, что функция является решением уравнения (6.1) при . Это можно проверить непосредственно, а можно вместо непосредственной проверки заметить, что мы уже знаем, что

для любой функции откуда следует, что

Легко проверяется также, что в этом случае выполнено начальное условие в смысле, что при каждом

Мы сделаем это даже двумя способами.

1-й способ. Заметим, что где так что при . Мы имеем дело с классическим -образным семейством положительных функций (в частности, ) при Теперь проверка (6.18) проводится по стандартной схеме доказательства -образности (см. § 4, пример 4.5). Соответствующие подробности, которые мы опускаем, читателю полезно восстановить в качестве упражнения.

2-й способ. Пусть мы хотим проверить соотношение (6.18) при . Разложим функцию в сумму

где непрерывна, совпадает с при и равна 0 при . Соответственно, непрерывна, равна 0 при и удовлетворяет оценке (6.17).

Интеграл Пуассона (6.16) для распадается в сумму таких интегралов для и для (мы обозначим их ) . Соотношение (6.18) достаточно проверить отдельно для и для .

Займёмся вначале функцией Имеем:

Ясно, что подынтегральная функция стремится к 0 при (поскольку при ), причём она имеет при интегрируемую мажоранту (вида ), не зависящую от . По теореме Лебега .

Остаётся рассмотреть случай финитной начальной функции. Здесь рассуждения из примера 4.5, § 4 проходят без всяких изменений. Однако есть и другой способ, основанный на аппроксимации гладкими функциями и последующем предельном переходе. Здесь полезно вначале заметить, что имеет место

Лемма 6.3 (принцип максимума). Пусть функция задаётся интегралом Пуассона (6.16). Тогда

При этом если одно из неравенств здесь обращается в равенство при каких-нибудь то .

Доказательство. Имеем:

Аналогично доказывается второе неравенство в (6.19). Поскольку при всех то равенство возможно лишь если почти всюду, а тогда , что и требовалось.

Закончим доказательство соотношения (6.18). Пусть — финитная непрерывная функция, — такая последовательность функций из что при к (последовательность можно построить, например, с помощью операции усреднения — см. § 4, п. 4.2.

Пусть

Поскольку то в топологии (и, в частности, равномерно на ). Но по лемме 6.3

откуда ясно, что . В самом деле, если дано , то мы можем выбрать такое к, что затем такое что при . Отсюда ясно, что

что и требовалось.

Отметим ещё, что интеграл Пуассона часто имеет смысл и для обобщённых функций . Например, если , то он имеет следующий естественный смысл:

поскольку при любых . Здесь также легко проверяется, что — решение уравнения (6.1). Соотношение верно теперь в смысле слабой сходимости в . В самом деле, легко проверить, что если то

где — интеграл Пуассона, соответствующий начальной функции (проверка перестановочности интеграла по а: и операции применения функционала обеспечивается тем, что интеграл сходится в топологии — см. точно такое же рассуждение в доказательстве предложения 5.2).

Поскольку при в топологии , то

а это и означает, что .

Выше мы уже отмечали, что . Это соотношение часто записывается более коротко в виде

и является частным случаем только что доказанного утверждения.

Наконец, пусть оценка (6.17) выполнена для любого (с постоянной , зависящей от b). Тогда интеграл Пуассона и, следовательно, решение задачи Коши определены при любом . Так будет, например, если при некотором и, в частности, если функция ограничена.

Если при каком-нибудь , то интеграл Пуассона сходится в силу неравенства Гёльдера. В этом случае по норме (доказательство аналогично рассуждениям, доказывающим сходимость усреднений по — см. п. 4.2).

Легко проверить, что если удовлетворяет оценке (6.17), то для функции задаваемой интегралом Пуассона, верна аналогичная оценка

где постоянные зависят от и В. Оказывается, что решение, удовлетворяющее такой оценке, единственно — мы докажем это ниже. В то же время оказывается, что оценка

ни при каком не обеспечивает единственность.

Единственность решения обеспечивает естественность применения интеграла Пуассона для нахождения разумного решения (как правило, быстро растущие решения не имеют физического смысла). Например, имеется единственность решения в классе ограниченных функций.

Благодаря принципу максимума (лемма 6.3) задача Коши корректна в классе ограниченных функций (если равномерно мало меняется, то равномерно мало меняется и ).

В заключение заметим, что тот факт, что при всех означает, что имеется «бесконечная скорость распространения тепла» (ведь начальное возмущение сосредоточено в нуле!). Однако функция быстро убывает при что практически равносильно конечной скорости распространения тепла.