Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 6.4. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Интеграл ПуассонаМы исследуем сейчас задачу Коши (6.2). Будем вначале считать, что
(здесь и в дальнейшем при отсутствии указания области интегрирования подразумевается интеграл по Стандартное интегрирование по частям даёт:
Таким образом, уравнение (6.1) равносильно уравнению
Начальное же условие, очевидно, приобретает вид
где Уравнение (6.10) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение по t с параметром Оно легко решается, и мы получим с учётом начального условия (6.11):
Взглянув на эту формулу, мы видим, что
Меняя порядок интегрирования (это возможно по теореме Фубини), мы получаем:
где
(по существу мы повторили выкладку, доказывающую, что преобразование Фурье переводит умножение в свёртку). Вычислим явно
Делая замену переменных
(мы сделали ещё замену переменных
получим окончательно:
Решение задачи Коши записывается в виде
называемом интегралом Пуассона. Проанализируем эту формулу. Заметим прежде всего, что она имеет смысл для значительно более широкого класса начальных функций
то интеграл в (6.16) сходится при
для любой функции
Легко проверяется также, что в этом случае выполнено начальное условие
Мы сделаем это даже двумя способами. 1-й способ. Заметим, что 2-й способ. Пусть мы хотим проверить соотношение (6.18) при
где Интеграл Пуассона (6.16) для Займёмся вначале функцией
Ясно, что подынтегральная функция стремится к 0 при Остаётся рассмотреть случай финитной начальной функции. Здесь рассуждения из примера 4.5, § 4 проходят без всяких изменений. Однако есть и другой способ, основанный на аппроксимации гладкими функциями и последующем предельном переходе. Здесь полезно вначале заметить, что имеет место Лемма 6.3 (принцип максимума). Пусть функция
При этом если одно из неравенств здесь обращается в равенство при каких-нибудь Доказательство. Имеем:
Аналогично доказывается второе неравенство в (6.19). Поскольку Закончим доказательство соотношения (6.18). Пусть Пусть
Поскольку
откуда ясно, что
что и требовалось. Отметим ещё, что интеграл Пуассона часто имеет смысл и для обобщённых функций
поскольку
где Поскольку
а это и означает, что Выше мы уже отмечали, что
и является частным случаем только что доказанного утверждения. Наконец, пусть оценка (6.17) выполнена для любого Если Легко проверить, что если
где постоянные
ни при каком Единственность решения обеспечивает естественность применения интеграла Пуассона для нахождения разумного решения (как правило, быстро растущие решения не имеют физического смысла). Например, имеется единственность решения в классе ограниченных функций. Благодаря принципу максимума (лемма 6.3) задача Коши корректна в классе ограниченных функций (если В заключение заметим, что тот факт, что
|
1 |
Оглавление
|