§ 3. Геометрическая прогрессия
89. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена.
Геометрической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число q, называемое знаменателем прогрессии. Предполагается, что
Если число членов прогрессии конечно, то она называется конечной геометрической прогрессией; в противном случае она называется бесконечной геометрической прогрессией.
Приведем примеры бесконечных геометрических прогрессий:
Эта прогрессия знакоположительная, монотонно возрастающая;
По причине отрицательности q эта прогрессия знакопеременная.
Абсолютная величина членов этой прогрессии убывает в силу того, что
. В связи с этим примером введем определение: геометрическая прогрессия называется убывающей, если
(т. е. если ее члены убывают по модулю; заметим, что при
как в разобранном примере, сами члены прогрессии попеременно меняют знак и убывающей последовательности не образуют, хотя мы и называем прогрессию убывающей).
Пусть последовательность
представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q. Выведем формулу, выражающую общий член
прогрессии через ее первый член
знаменатель q и номер n. С этой целью заметим, что по определению геометрической прогрессии
а также
Подставим в правую часть последнего равенства вместо
его выражение через
и q, взятое из предыдущего равенства:
Точно так же с помощью равенства
прямо следующего из определения прогрессии, получим
Видна закономерность, по которой общий член геометрической прогрессии выражается через
:
Строгое доказательство формулы (89.1) общего члена геометрической прогрессии проводится методом индукции; оно предоставляется читателю.
Пример 1. Найти
геометрической прогрессии, у которой
Решение. По формуле (89.1) имеем
Пример 2. Найти
геометрической прогрессии, состоящей из действительных чисел, если у нее
Решение. С помощью формулы (89.1) запишем:
Из полученной системы уравнений (делением) найдем
Последнее уравнение имеет три корня: один действительный, равный 3, и два комплексных сопряженных (см. п. 18 или п. 63). Ограничимся лишь первым из них, так как требуется найти прогрессию, состоящую из действительных чисел. Итак,
, а значит,
, и, следовательно,
Из формулы (89.1), выражающей общий член геометрической прогрессии, можно сделать выводы о его поведении при
Именно, в случае
общий член является бесконечно большой величиной, а в случае
бесконечно малой:
Если знаменатель прогрессии
то члены прогрессии попеременно меняют знак; все же и в этом случае
при
. Особенно важным является следующее утверждение.
Теорема. Общий член бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к нулю: