§ 3. Геометрическая прогрессия

89. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена.

Геометрической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число q, называемое знаменателем прогрессии. Предполагается, что

Если число членов прогрессии конечно, то она называется конечной геометрической прогрессией; в противном случае она называется бесконечной геометрической прогрессией.

Приведем примеры бесконечных геометрических прогрессий:

Эта прогрессия знакоположительная, монотонно возрастающая;

По причине отрицательности q эта прогрессия знакопеременная.

Абсолютная величина членов этой прогрессии убывает в силу того, что . В связи с этим примером введем определение: геометрическая прогрессия называется убывающей, если (т. е. если ее члены убывают по модулю; заметим, что при как в разобранном примере, сами члены прогрессии попеременно меняют знак и убывающей последовательности не образуют, хотя мы и называем прогрессию убывающей).

Пусть последовательность

представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q. Выведем формулу, выражающую общий член прогрессии через ее первый член знаменатель q и номер n. С этой целью заметим, что по определению геометрической прогрессии

а также

Подставим в правую часть последнего равенства вместо его выражение через и q, взятое из предыдущего равенства:

Точно так же с помощью равенства

прямо следующего из определения прогрессии, получим

Видна закономерность, по которой общий член геометрической прогрессии выражается через :

Строгое доказательство формулы (89.1) общего члена геометрической прогрессии проводится методом индукции; оно предоставляется читателю.

Пример 1. Найти геометрической прогрессии, у которой

Решение. По формуле (89.1) имеем

Пример 2. Найти геометрической прогрессии, состоящей из действительных чисел, если у нее Решение. С помощью формулы (89.1) запишем:

Из полученной системы уравнений (делением) найдем

Последнее уравнение имеет три корня: один действительный, равный 3, и два комплексных сопряженных (см. п. 18 или п. 63). Ограничимся лишь первым из них, так как требуется найти прогрессию, состоящую из действительных чисел. Итак, , а значит, , и, следовательно,

Из формулы (89.1), выражающей общий член геометрической прогрессии, можно сделать выводы о его поведении при Именно, в случае общий член является бесконечно большой величиной, а в случае бесконечно малой:

Если знаменатель прогрессии то члены прогрессии попеременно меняют знак; все же и в этом случае при . Особенно важным является следующее утверждение.

Теорема. Общий член бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к нулю:

Доказательство. Чтобы не рассматривать отдельно случаи будем проводить рассуждения для . Так как , то

- абсолютные величины членов прогрессии монотонно убывают. Так как, кроме того, , то последовательность монотонно убывает и ограничена снизу (нулем). По теореме Вейерштрасса она имеет предел; обозначим этот предел через I:

требуется доказать, что Для этого запишем:

Перейдем в равенстве (89.2) к пределу при

Ясно, что также равен I. Поэтому

или откуда как ).