2.2. КАРТИНА ДИФРАКЦИИ НА ОДИНОЧНОЙ ЩЕЛИ

На рис. 2.1, а показано сечение щели шириной и длиной в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка. Щель равномерно освещена монохроматическим светом с длиной волны , удовлетворяющим требованиям когерентности, сформулированным в разд. 1.2 и такой схемой опыта, где плоские волновые фронты нормально падают на щель. При этом дифракционная картина Фраунгофера, определяемая щелью, образуется в задней фокальной плоскости линзы. Предположим, что тогда события в плоскостях, параллельных плоскости рисунка, могут считаться одинаковыми; такая картина является одномерной дифракционной картиной. Ее детальный вид можно получить с помощью модели волновых цугов Гюйгенса.

Представим, что щель разделена параллельно ее длине на большое число узких полосок одинаковой ширины. Вся щель равномерно освещена, полоски имеют одинаковую площадь и поэтому амплитуды составляющих в данном направлении 0 от каждой полоски одинаковы. Расчет комбинации всех составляющих поперек всей щели легче всего выполнять с помощью векторной диаграммы. Фаза света от центральной полоски, которой соответствует точка С, может служить удобной линией отсчета на векторной диаграмме. На рис. 2.2, а вектор света от этой полоски обозначен как С. Фаза света от соседней полоски, расположенной

Рис, 2.1. Дифракция Фраунгофера на одиночной щели.

ниже С на рис. 2.1, а, отстает от фазы в С, а для соседней полоски выше С опережает ее. На векторной диаграмме соответствующие векторы добавляются к С по мере того, как пары полосок оказываются все дальше от С, пока не будут учтены вклады от всех полосок. Результатом этого построения является вектор R, но для получения точного значения нам требуется векторная диаграмма, которая представляет собой предел для полосок бесконечно малой ширины. Предельный переход выполнить нетрудно. Вначале заметим, что представленная векторная диаграмма напоминает часть правильного многоугольника, поскольку 1) векторы имеют равную длину и 2) они поворачиваются на одинаковые углы (ввиду линейного изменения фазы между составляющими от последовательных полосок). Свет от точки А на рис. 2.1, а опережает по фазе свет от С на величину

а свет от точки В отстает на такую же величину а. Для света из точки посредине между С и В фазовая задержка равна и т.д. В пределе, когда ширина полос уменьшается до нуля, векторы образуют дугу круга радиуса , как показано на рис. 2.2, б, а результирующая амплитуда определяется выражением

Индекс поставлен с целью напомнить нам, что этот результат относится к одиночной щели. Дуга длиной равна полной длине

Рис. 2.2. Дифракция на одиночной щели: векторные диаграммы. (Небольшое смещение на рис. д показывает, что полная разность фаз равна )

всех элементарных векторов, вытянутых в прямую линию, как показано на рис. 2.2, в. Теперь эта прямая линия представляет векторную диаграмму в направлении так как в этом особом направлении (см. рис. 2.1, а) разность пути отсутствует и все составляющие находятся в фазе с вектором в точке С. Поэтому мы можем записать

где R1 (0) обозначает амплитуду в направлении Подстановка в уравнение (2.02) дает

Свойства членов в скобках показаны на рис. 2.3, а.

Экспериментально наблюдаемая картина интенсивности определяется в виде

как показано на рис. 2.3, б и рис. 2.12, в.

Переменная а является функцией и а [см. уравнение (1.1)]. Интерпретация дифракционной картины упрощается, если заменить одной переменной

Рис. 2.3. Дифракционная картина от одиночной щели: а - амплитуда (-функция); б - интенсивность.

Тогда уравнение (2.03) принимает вид

Член в скобках в этом уравнении является примером -функции вида , которая широко употребляется в физике.

Рис. 2.3 иллюстрирует существование обратной зависимости между масштабом картины, выраженным через и, и шириной щели а. Теперь и имеет размерность обратной длины, и в результате мы приходим к идее описания дифракционных картин Фраунгофера как существующих во взаимном пространстве. Эта идея будет развернута ниже, при рассмотрении картин от многоэлементных апертур (разд. 2.4 и 2.5), и приобретет дополнительный смысл, когда мы познакомимся с применением метода Фурье к дифракции (гл. 3 и 4).

В то же время на рис. 2.3, а следует отметить изменение фазы амплитудной картины в зависимости от и. При изменении и от нуля результирующая амплитуда уменьшается, что соответствует искривлению векторной диаграммы б на рис. 2.2. Однако результирующий вектор остается параллельным базовой линии фазы, т.е. его фаза равна фазе освещенности в направлении Когда векторная диаграмма образует полный круг (рис. 2.3, г) и результирующая амплитуда равна нулю. [Соотношение означает, что т. е. разность пути между составляющими от точек А и В составляет целую длину волны (рис. 2.1, а). Как может показаться, это противоречит нулевой амплитуде от всей щели, но заметим, что существует разница пути в , вызывающая взаимное подавление составляющих от точек А и С и аналогично от точек ниже А и несколько ниже С и так далее вдоль щели.] После того как u возрастает до u=2/a векторная диаграмма (рис. 2.2, д ) проходит больше полного круга, и потому результирующий вектор вновь параллелен базовой линии. Однако теперь фаза равна что проявляется в отрицательной амплитуде на рис. 2.3, а. Последующие нули и обращения фазы соответствуют и векторная

Рис. 2.4. Дифракционная картина от круглой апертуры: а - одиночная апертура (картина Эри); б - две отдельно освещенные апертуры, когерентность отсутствует; в - две апертуры, освещенные общим когерентным источником [рис. а и в взяты из книги Гарбурна и др. (1975)].

диаграмма образует все новые окружности постепенно уменьшающегося диаметра.

Амплитудное распределение освещенности по любой апертурной системе, такой, как рассматриваемая выше щель, - амплитудное пропускание системы - характеризуется апертурной функцией. На рис. 2.1,б апертурная функция имеет простую прямоугольную форму («цилиндр»), т. е. равна постоянному значению h по всей ширине одиночной щели и вне ее. (Вообще представляет собой амплитуду волнового процесса, обусловленного элементом при данном значении х.)

В контексте этой книги апертурную функцию любой системы апертур (не обязательно лишь одной апертуры) полезно рассматривать как представление (оптической) структуры системы.