4.7. КОРРЕЛЯЦИЯ

В настоящее время корреляция является наиболее широко распространенным методам обработки различных сигналов (оптических и других) и данных. Мы можем видеть примеры применения корреляции в гл. 5 и 6. При всех различных проявлениях корреляция является, по существу, методом оценки и определения взаимных связей, имеющих форму подобий или совпадений. В качестве примера можно привести корреляцию фаз Луны с приливами на Земле: если изобразить эти два периодических процесса на графике в зависимости от времени, то видно, что они взаимосвязаны.

Процесс поиска корреляции по существу сводится к сравнению двух картин, но это далеко не так просто, как может показаться вначале. Поясним возникающие при этом проблемы на примере. На рис. 4.8, а на плоскости х, у расположена некоторая фигура. Допустим, она описывается функцией , где является некоторой заданной характеристикой фигуры, например ее цвет, композиция, отражательная способность, прозрачность и т.д.; вне фигуры равна нулю. Эта функция неприменима для описания фигуры независимо от ее положения на плоскости х, у. Но во многих случаях необходим способ определения функции, «инвариантный по отношению к переносу». В таком способе предусматриваются координаты, которые являются внутренними для функции, но определяют ее так же, как Рассмотрим функцию которая представляет собой произведение значения при х, у на соответствующее значение при причем эти произведения суммируются (интегрируются) для всех х, у. Такую функцию можно выразить, как

Рис. 4.8. Автокорреляция.

Как показано на рисунке, эта функция представляет векторное описание фигуры. Так как/равна нулю для всех точек вне фигуры, то на рис. 4.8, а произведение значений/для всех пар точек на плоскости х, у, разнесенных на суммированное по всем х, у, равно нулю. По этой причине Р для на рис. 4.8, б имеет нулевое значение. С другой стороны, величина явно не равна нулю.

Таким образом функция Р предопределяет картину, которая описывает независимо от ее положения на плоскости х, у. Поскольку здесь функция/сравнивается сама с собой, выражение (4.39) называют автокорреляционной функцией. (Очевидно, соответствует сильному пику на -карте и можно доказать, что она представляет максимальное значение.)

Важно отметить, что уравнение (4.39) также дает нам другой способ визуализации вычислений. Видно, что значение Р для любых выбранных и, v получается смещением функции относительно себя самой на и определением площади перекрытия (рис. 4.8, в) (сравните

вышеприведенные замечания относительно Р(0, 0), представляющей максимальное значение Р).

Для сравнения двух разных фигур можно записать кросс-корреляционную функцию

где P теперь относится к произведению

Обе корреляционные функции могут быть выражены для одно-, двух- и трехмерных случаев, а также для времени. С целью их детального изучения вернемся к одномерному случаю

и так

Чтобы вышеприведенное уравнение можно было описать сдвигом и в положительном направлении х, следует переписать его следующим образом:

Простой одномерный пример автокорреляции показан на рис. 4.9, а и в. (Рис. 4.9, б и г относятся к разд. 4.7.1.) Читатель может начертить несколько графиков с целью убедиться, что, когда вторая прямоугольная функция, идентичная первой на рис. 4.9, а, сдвигается, принимая разные положения вдоль оси х, площадь под произведением для каждого сдвига соответствует результату, показанному на рис. 4.9, в.

Определение корреляции нередко выражается в несколько иной форме, а именно:

и аналогично для автокорреляции. В этом выражении х является смещением, а вспомогательной переменной интегрирования.

Таким образом, корреляция подобна свертке [ср. уравнение (4.24)], но отличается тем, что функция сдвигается, а не переворачивается (перегибается). Символ О используется довольно широко, чтобы отличить корреляцию от свертки, хотя, к сожалению, для обозначения этих операций нет общепринятых символов.

Если функции комплексные, то принято определять комплексную

Рис. 4.9. Пример автокорреляции (а, в) и теоремы Винера-Хинчина (б, г); буква Т обозначает фурье - преобразование.

кросс-корреляционную функцию

и комплексную автокорреляционную функцию

(Отметим, что, если звездочка связана с другой функцией, то получается сопряженный результат.) Для комплексных отмеченное выше различие между сверткой и корреляцией может быть представлено в общем виде как

Из этого следует, что корреляция не коммутативна, т.е.

Иногда бывает удобно нормировать корреляционные функции. Нормировка достигается делением выражений (4.44) и (4.45) на центральное значение корреляции, т. е. на значение для х = 0 (нулевой сдвиг). Это дает

где интегрирование выполняется в пределах от —