1.3.1. Дифракция Фраунгофера

Рассмотрим рис. 1.5, на котором изображена объектная маска с двумя очень малыми апертурными отверстиями В и С, однородно освещенными квазимонохроматическим светом от удаленного источника. Плоские волны поступают по нормали к маске, а сферические волновые фронты расходятся из В и С. Схема такая же, как и в опыте Юнга, за тем исключением, что теперь дополнительно у нас есть линза, которая создает изображение точечных отверстий в плоскости, расположенной, как показано на рисунке. Непосредственный интерес представляет, однако, задняя фокальная плоскость линзы. Рассмотрим любую точку Р, лежащую в направлении под углом к оси линзы; в ней складываются вместе и интерферируют только составляющие, распространяющиеся от В и С в направлении 0 (сравните с опытом Юнга, где интерференция в точке Р на рис. 1.1 происходит между светом, распространяющимся от апертур в разных направлениях). Мы увидим, что конкретная дифракционная картина (определяемая ниже как фраунгоферовская) в задней фокальной плоскости отображающей линзы является особенно важным промежуточным шагом в формировании изображения, выполняемом линзой. Это позволяет оценить конечную стадию формирования изображения и предоставляет единственную и особую по своей важности возможность для преобразования изображения. Указанное обстоятельство подробно обсуждается в гл. 5, но здесь мы исследуем некоторые свойства картины, сформированной в описанном выше примере. Прежде, однако, отметим, что для экспериментального получения таких дифракционных картин Фраунгофера необходимо обеспечить существование статистических фазовых соотношений, обусловленных когерентным освещением (см. замечания в предыдущем разделе о различиях между когерентным и некогерентным формированием изображения). До гл. 5, где вновь обсуждается эта разница, мы будем (если не указано особо) предполагать, что условия когерентности выполняются.

Для вычисления результата сложения двух составляющих в точке Р на рис. 1.5 необходимо учесть разность фаз между ними, обусловленную разностью путей так, как мы поступали в опыте Юнга. Мы имеем

где в данном случае

Интенсивность I в точке Р можно вычислить с помощью фазовой диаграммы так же, как на рис. 1.1. Это дает (ср. с уравнением (1.01 ))

где определяется теперь уравнением (1.08).

Рис. 1.5. Дифракция как промежуточный шаг в формировании изображения (О - объектная маска, L - линза, D - экран в плоскости дифракции, I - плоскость изображения).

Две амплитуды равны, поскольку обе составляющие приходят под одним и тем же углом. При подстановке вышеприведенное уравнение принимает вид

Эта картина часто упоминается как содержащая - полосы».

В направлении максимума интенсивности полос освещенность от каждой апертуры изменяется ступенчато с шагом

где порядок дифракции (или интерференции) имеет целое или нулевое значение. Тогда интенсивность максимумов равна

Следует вновь отметить, что, хотя направления максимумов определяются D и X, их значения зависят от амплитуд, излучаемых в этих направлениях отдельными апертурами (см. разд. 2.3).

Между максимумами лежат минимумы, которые равны нулю только в случае, когда (как обычно бывает)

Расстояние между полосами легко вычислить с помощью рис. 1.5. Если максимум первого порядка расположен, например, при и если мало (масштаб рисунка, конечно, намеренно искажен), мы получаем

Рис. 1.6. Дифракция Фраунгофера (О - объектная маска, L - линза, D - плоскость дифракции).

откуда

Независимо от формы, числа и прочих свойств апертур в маске, все полученные таким образом картины считаются принадлежащими к фраунгоферовскому типу. На рис. 1.6 вновь показана схема с объектной маской, содержащей одиночную апертуру конечного размера; детали получаемой при этом картины Фраунгофера рассматриваются в разд. 2.2. Во всех примерах дифракции Фраунгофера существует линейное изменение оптической длины пути, проходимого дифрагировавшим светом от точек объекта до конкретной точки дифракционной картины. Таким образом, разность оптических длин YP — ХР = YW на рис. 1.6 пропорциональна XY. В противоположность этому соответствующее изменение на рис. 1.2 является нелинейным и образующиеся при этих условиях картины принадлежат к картинам типа Френеля.

Поскольку дифракционная картина Фраунгофера представляет собой ту же самую картину, которая получалась бы на бесконечности в отсутствие линз, другой часто используемой альтернативной характеристикой является дифракция в дальней зоне. В противоположность ей дифракция Френеля называется дифракцией в ближней зоне, хотя следует отметить, что к категории френелевских (ближней зоны) относится бодыпое многообразие картин, в то время как фраунгоферовская дифракция возникает только в одном предельном случае. Например, когда опыт Юнга проводится при достаточно большом расстоянии источника и экрана (на котором наблюдаются полосы) от апертурной маски, картина практически не отличается от фраунгоферовской. Если расстояния существенно меньше (как показано в увеличенном

Рис. 1.7. Схемы получения картин дифракции Фраунгофера (О-объектная маска, L - линза, D - плоскость дифракции).

масштабе на рис. 1.1, а), то картина Френеля будет совершенно иной.

Здесь нет необходимости углубляться в обширную область методов создания освещенностей, применяемых в оптической микроскопии. Однако полезно показать на рис. 1.7 некоторые приемы, специально используемые для наблюдения и регистрации дифракционных картин Фраунгофера, как правило, в целях «оптической фильтрации» (гл. 5). Из них на рис. 1.7, а представлен еще один способ получения той же освещенности, как на рис. 1.5 и 1.6, в то время как схемы б и в дают почти такие же картины как а. Если необходима детальная передача фазы и амплитуды, требования к схеме являются более строгими. Полный учет свойств линз, формирующих изображения, показывает, что в этом случае требуется схема, представленная на

рис. 1.7, г. Здесь объектный экран помещен в передней фокальной плоскости линзы, в задней фокальной плоскости которой формируется дифракционное изображение.

Далее в этой книге предполагается, если не оговорено особо, что обсуждаемые дифракционные картины относятся к фраунгоферовскому типу либо в определенной степени являются его приближением, поскольку для рассматриваемых задач отличия пренебрежимо малы (так называемое приближение дальней зоны или плоской волны).

Как уже отмечалось, роль дифракции в оптических системах формирования изображения как его промежуточного шага составляет основное содержание гл. 5. В связи с этим следует заметить, что картина дифракции Фраунгофера, определяемая объектом (таким, как рассматриваемая здесь апертурная маска), наблюдается в плоскости, где в качестве объекта формируется изображение источника (см. рис. 1.7); типичным примером является картина, получаемая при наблюдении уличного фонаря через занавеску. С помощью понятия сопряжения, имеющего тот же смысл, что и в геометрической оптике (где рассматривается изображение, формируемое в плоскости, сопряженной объекту) картина дифракции Фраунгофера рассматривается в плоскости, сопряженной источнику излучения. (Схематично это показано на рис. 5.5.)