5.3. ФОРМИРОВАНИЕ КОГЕРЕНТНОГО ОПТИЧЕСКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ

Экспериментальные исследования Эрнста Аббе по улучшению качества объективов для микроскопов, выполненные в 70-е годы прошлого века, легли в основу используемого сегодня подхода при рассмотрении когерентного изображения. Работая в Йенском университете как сотрудник (а позднее и как компаньон) Карла Цейса, Аббе обнаружил, что объективы микроскопов, изготовленные с наиболее тщательной коррекцией аберраций, дают разрешение худшее, чем менее тщательно скорректированные объективы большей апертуры. В экспериментах с образцами, имеющими периодическую структуру, такими, как чешуйки насекомых и скелеты диатомей, он показал, что влияние большой апертуры связано с дифракцией на самом образце (свидетельство некоторой когерентности в условиях освещения).

Он продемонстрировал, каким образом дифракционные максимумы, сформированные в задней фокальной плоскости объектива, влияют на построение изображения; при этом максимумы высших порядков (или высшие пространственные частоты, как мы теперь считаем) ответственны за более тонкие детали в изображении. Аббе ввел волновую теорию («волновую оптику») в инструментальную оптику, бывшую ранее исключительно сферой применения геометрической (или «лучевой») оптики.

Интерпретация работы Аббе в терминах рядов Фурье была описана в важной статье А. Б. Портера в 1906 г. [46]. Он также показал их физическую суть серией изящных демонстрационных опытов. Например, он показал, как изменяется качество изображения объекта с периодической структурой в зависимости от потери дифракционных порядков в разных комбинациях.

Дополненный впоследствии применением преобразования Фурье к формированию изображения объектов с непериодической структурой, подход Аббе проявился в создании многих исключительно важных методов. Как уже упоминалось, они зависят главным образом от рассмотрения фраунгоферовой дифракции с точки зрения пространственных частот и доступности дифракционной картины как математически, так и экспериментально в случае использования когерентных условий.

5.3.1. Объекты с периодической структурой

Рассмотрим одномерную многощелевую прозрачную дифракционную решетку, показанную в предыдущих главах, которая играет роль объекта, изображение которого строится линзой (рис. 5.3). Волновые фронты, образующие разные дифракционные максимумы, приходят в разные фокальные точки задней фокальной плоскости линзы. Свет, проходящий

Рис. 5.3. Формирование изображения в микроскопе согласно Аббе (О - плоскость объекта, D - дифракционная плоскость; I - плоскость изображения) [5].

через эти фокусы на дифракционной плоскости, складывается на плоскости изображения, восстанавливая оптическое изображение объекта. Предположим условно, что линза совершенна и обладает бесконечной апертурой. Отметим, что, как обозначено двумя жирными линиями на рисунке, здесь отсутствует противоречие между этим волновым описанием и методом лучей геометрической оптики.

Взятая сама по себе любая пара фокусов создает ряд синусоидальных групп на плоскости изображения. Это напоминает опыт Юнга (разд. 1.1), где пара апертур действует таким же образом. В этом смысле формирование изображения можно рассматривать как двойной процесс дифракции (идея, выдвинутая Цернике около 1935 г. [64]).

Чтобы увидеть, каким способом строится изображение объекта типа решетки, показанной на рис. 5.3, рассмотрим вклады в изображение, вносимые парами дифрагированных лучей, включающих разные порядки дифракции.

Рис. 5.4 показывает схематически образование пары дифрагированных лучей n - го порядка, испускаемых объектом в плоскости изображения, они интерферируют, создавая распределение гармоник освещенности с периодом задаваемым выражением

Условием для формирования дифракционных максимумов n - го порядка от объекта является выражение вида

откуда

Рис. 5.4. Формирование изображения: дифракция и восстановление [О-объект (дифракционная решетка с периодом D); D - дифракционная плоскость; 1 - изображение].

Член в скобках является постоянным по величине и связан с увеличением линзы. Итак, мы имеем

Пара максимумов первого порядка интерферирует в плоскости изображения, создавая простые гармонические вариации освещенности, которые соответствуют основному периоду решетки. Этот период представляет собой минимальную информацию об объекте без тонких деталей его оптической структуры. Каждая пара последующих максимумов более высокого порядка добавляет последовательно к общей освещенности гармоники более короткого периода которые формируют изображение. Все детали изображения строятся способом, вполне аналогичным фурье - синтезу. В разд. 3.4.1 было показано, что дифракционные максимумы сами заключают в себе фурье - анализ решетчатого объекта, и была сделана ссылка на дифракционную плоскость, описываемую как фурье - плоскость. Поэтому процесс формирования изображения в рассматриваемом нами примере можно интерпретировать как двойную фурье - обработку: с дифракционной картиной в качестве фурье - анализа решетки и изображением в качестве фурье - синтеза данного фурье - анализа. Такая интерпретация особенно очевидна, если вспомнить принцип обратимости. Все порядки дифракции, которые создают изображение путем суммирования гармоник, возвращают к решетчатому объекту, где они рекомбинируют, образуя первоначальное распределение освещенности (апертурной функции) на решетке.

Важно понять, что это описание двойного преобразования Фурье полностью согласуется с интерпретацией двойной дифракции Цернике, и мы имеем дело с разными способами выражения одного и того же явления.

Для построения идеального изображения необходим бесконечный фурье - синтез, требующий не только образования бесконечного числа порядков дифракции, но и сплошного заполнения оптической системы. Очевидно, что оба этих требования невыполнимы. Уравнение (5.05) показывает, как величины D и X накладывают ограничение на число возможных дифракционных максимумов, которые могут быть созданы, и, разумеется, любой объектив имеет конечную апертуру .

В другом предельном случае, если условия допускают только пары дифракционных максимумов нулевого и первого порядков, поступающих в объектив, в изображении может быть разрешен только основной период D решетки, и при том, как указано выше, лишь как простое синусоидальное изменение освещенности. Уравнение (5.05) показывает, что сообразно с этим наименьший период объекта, поддающийся разрешению, определяется условием

т.е.

где - уже упоминавшаяся нами численная апертура объектива (разд. 2.3). Это дает предел разрешения, равный примерно длине волны используемой освещенности.

Предел разрешения может быть сделан меньше указанного, так как комбинация нулевого порядка с одним только максимумом первого порядка вполне достаточна для формирования изображения с основным периодом решетки. Используя сходящийся пучок, можно добиться того, что лучи будут приходить на противоположные края апертуры объектива и тогда предел разрешения . Это минимальное условие присутствия максимумов нулевого и первого порядков выражает принцип Аббе.

Точно такие же соображения применяются в случае двухмерной решетки, т. е. решетки в форме двухмерной структуры, каждая точка которой имеет идентичную апертуру (разд. 2.6). В случае сборной решетки каждая «апертура» может быть, например, малым отверстием или группой отверстий. Дифракционная картина в этом случае представляет собой двухмерную решетку пятен освещенности, причем порядок дифракции каждого пятна определяется двумя целыми числами (сравните три числа в уравнениях (2.18) для трехмерной решетки). Рекомбинация, вторая стадия в формировании изображения, выполняется точно таким же способом, как и в одномерном случае.

В разд. 5.3.3 описаны экспериментальные наблюдения этих эффектов.

5.3.2. Непериодические объекты

Подход, рассмотренный в предыдущем разделе, можно применить и к случаю непериодических объектов, потому что дискретные порядки дифракции не являются его необходимой предпосылкой. Непериодический объект можно считать эквивалентным одной апертуре (щели) решетки, и мы знаем, что в этом случае используется преобразование Фурье вместо рядов Фурье. Дифракционная картина в фокальной плоскости линзы представляет собой картину непрерывного рассеяния с угловым изменением амплитуды и фазы, зависящим от апертурной функции; это - преобразование Фурье от функции амплитудного распределения по объекту (ср. оценку линзы как «преобразователя Фурье» в разд. 4.2). Восстановление этой картины в плоскости изображения сводится к суммированию интерференционных полос, создаваемых парой дифрагированных лучей (под углом на рис. 5.4), но с непрерывным диапазоном разнесения полос и ориентаций. Формирование изображения может быть описано как процесс двойного преобразования Фурье. Это описание в общем применимо как к периодическим, так и к непериодическим объектам, поскольку даже первые из них имеют конечный размер, что позволяет говорить об изображении как о преобразовании дифракционной картины, независимо от природы объекта. Мы уже использовали эту идею в разд. 4.5.

5.3.3. Примеры преобразований в оптике

Схема оптического дифрактометра для демонстрации и использования принципов, описанных ранее, показана в упрощенном виде на рис. 5.5. Обычно используется гелий - неоновый лазер с расширителем пучка для обеспечения освещенности с почти идеальной когерентностью (временной и пространственной) по всему плоскому волновому фронту в положении О, где расположены объектные маски. Дифракционная картина (преобразование Фурье), создаваемая маской в положении О, формируется в фокальной плоскости D объектива а изображение (двойное преобразование) от О формируется на плоскости I. На практике для получения дифракционных картин приемлемого размера должен быть длиннофокусной линзой или соответствующей эквивалентной системой (например, комбинация фотографии и телевидения). Вторая линза (ее положение обозначено на рисунке пунктирной линией) нужна для формирования действительного изображения на приемлемом расстоянии от объектной маски.

Фоторегистрация дифракционных картин и изображений по своей природе является записью только интенсивностей (кроме голографии). Иллюстрации в следующих примерах описывают, следовательно, оптические преобразования, а не преобразования Фурье. Они широко представлены в полном собрании сочинений по оптическим преобразованиям X. Липсона и его коллег.

Рис. 5.5. Основная схема для наблюдения оптических преобразований (О-плоскость объекта; D - дифракционная плоскость; I - плоскость изображения).

1) Дифракция на объектных масках

Последовательность а - д рис. 5.6 иллюстрирует некоторые из основных положений, которые упоминались в связи с ролью дифракции на первой стадии формирования изображения в когерентном свете. В каждом примере представлены объектная маска и создаваемое ею оптическое преобразование.

а) Объектная маска: двухмерная решетка из точечных отверстий. Ее можно рассматривать как решетчатую структуру из -функций. Маска содержит гораздо больше повторов, чем показано на рисунке. Преобразование (почти всегда двухмерные ряды Фурье, поскольку объект содержит много повторов): обратная структура - ее геометрия и размеры находятся в обратной зависимости с аналогичными параметрами структуры объекта. Интенсивности примерно постоянны, как это и следует ожидать для малых диафрагм, аппроксимируемых -функциями (т.е. большой диск Эри).

б) Объектная маска: одна апертура, содержащая неповторяющуюся, нерегулярную группу отверстий.

Преобразование: нерегулярная картина, в которой освещенность изменяется с направлением в зависимости от расположения и размеров отверстий в объектной маске.

в) Объектная маска: свертка вариантов а и б. Как и в случае а, маска содержит гораздо больше повторов, чем здесь показано. Преобразование: произведение отдельных преобразований а и б. Этот пример иллюстрирует теорему свертки, а также показывает, что картина, создаваемая решеткой, является выборкой картины, создаваемой единичным элементом решетки (т.е. ее преобразование). Выборка проводится в направлении, определяемом размерами решетчатой структуры и, разумеется, длиной волны света.

(см. скан)

Рис. 5.6. Оптические преобразования. Каждому преобразованию соответствует показанная внизу маска, за исключением случаев а и в, для которых маски содержат намного больше периодов, чем показано на рисунке [60].

г) Объектная маска: двухапертурная «решетка», которая является сверткой одной апертуры в случае б с двумя -функциями. Преобразование: это опять произведение двух отдельных преобразований. В этом примере преобразование одной апертуры умножается на преобразование двухапертурной решетки. Отметим, что интерференционные полосы от последней перпендикулярны к линии соединения двух «апертур» (ср. опыт Юнга); их разнесение обратно пропорционально расстоянию между апертурами.

д) Объектная маска: свертка одной апертуры в случае б с четырьмя -функциями, определяющими решетчатую структуру в случае а. Преобразование: преобразование одной апертуры в этом случае умножается на две последовательности полос , которые определяют обратную структуру в случае а. Снова демонстрируется наличие выборки.

Изящные примеры использования оптических преобразований были обнаружены в рентгеновской кристаллографии, где, как отмечено в гл. 2, формирование изображений атомов не может быть выполнено непосредственно, потому что отсутствуют линзы, которые могут быть использованы для сведения дифрагированных рентгеновских лучей. Отметим, что если зарегистрированы только интенсивности, то фурье-суммирование не может быть выполнено ни аналитически, ни экспериментально из-за отсутствия данных о фазах. В годы формирования указанного направления исследований У. Л. Брэгг сыграл ключевую роль в разработке методов оптического фурье-анализа для рассмотрения и решения этой и других проблем рентгеновской кристаллографии. Несмотря на то что развитие ЭВМ привело к машинным методам решения «фазовой проблемы», работа Брэгга явилась важным вкладом в широкую область оптической обработки. В качестве основной литературы по развитию и применениям оптических методов к дифракции рентгеновских лучей, читатель может обратиться к работам, упомянутым в начале этого раздела.

Пример аналогии между дифракцией рентгеновских лучей на кристаллах и первой стадией формирования оптического изображения решетчатого объекта показан на рис. 5.7. На рис. 5.7, а изображена часть оптической маски, представляющей собой двухмерную проекцию кристаллической структуры фталоцианина; на рис. 5.7, б показана оптическая дифракционная картина, создаваемая ею [10]. Рис. 5.7, б согласуется с данными рентгеновских исследований не только в отношении геометрии расположения пятен но и по соответствию экспериментально наблюдаемой рентгеновской интенсивности картине на рисунке. Исторически этот метод вначале применялся для определения неизвестной кристаллической структуры путем изготовления «пробных» масок на основе химических и других соображений. Он был существенно упрощен при дальнейшем развитии техники (см. конец раздела 2), когда было показано, что основная ячейка и только три периода вполне достаточны в качестве маски, поскольку они определяют структуру, на которой основана двухмерная проекция кристалла. Это иллюстрируется рис. 5.6, где в случае в в качестве маски было использовано большое число повторов (намного больше, чем показано на рисунке) основной ячейки, тогда как в случае д было использовано только четыре ячейки, определяющих структуру кристаллической решетки. Сравнейие оптических преобразований показывает, что д вполне достаточно в сравнении сев данной выборке преобразования одной ячейки б на узлах взаимной решетки (преобразование) от основной решетки а.

Рис. 5.7. Первая стадия формирования изображения, а маска, представляющая двухмерную проекцию кристаллической структуры фталоцианина; б - картина оптической дифракции, полученная с маской a. (Nature, 154, 69. Copyright Macmillan Journals Limited, 1944).

2) Восстановление изображения

Рис. 5.8 представляет другой пример из области рентгеновской кристаллографии, на этот раз относящийся ко второй стадии формирования изображения - его восстановлению. Рис. 5.8, а является схематическим «видом» вниз по оси кристаллической структуры минерала диопсида CaMg (Si03 )2, который У. Л. Брэгг использовал в нескольких случаях для иллюстрации оптических принципов, лежащих в основе «рентгеновского анализа» кристаллических структур [6, 8, 9, 10].

Атомы показаны в виде черных кружков; наибольшие из них представляют атомы Са и Mg, которые накладываются друг на друга, а наименьшие - атомы Si и О (которые образуют цепочки, тянущиеся через структуру). На рис. 5.8, б мы имеем маску, содержащую небольшие отверстия для представления экспериментальных данных, полученных при наблюдении рентгеновской дифракции; площадь отверстий пропорциональна квадратному корню из интенсивности рентгеновских лучей. Рисунок в представляет изображение, сформированное как оптическое преобразование б, и оно хорошо согласуется с а. Восстановление достигло цели, так как почти все пучки дифрагированных рентгеновских лучей имеют одинаковую фазу, в основном определяемую очень сильным рассеянием на атомах Са и Mg, которые являются центрами симметрии. Примеры пучков с разными фазами можно получить, если поместить перед каждым отверстием кусочек слюды и путем вращения отдельных

Рис. 5.8. Вторая стадия формирования изображения, а - представление двухмерной проекции кристаллической структуры диопсида, CaMg(Si03)2; б - оптическая маска, соответствующая дифракционной картине рентгеновских лучей; в - оптическое восстановление изображения с использованием маски б. (Nature, 143, 678; 149, 470. Copyright Macmillan Journals Limited, 1939, 1942.)

кусочков добиться соответствующих фазовых сдвигов. (Вопреки первому впечатлению, этот метод не требует использования поляризованного света для восстановления оптического изображения.)

Брэгг продемонстрировал, что такие изображения можно считать состоящими из синусоидальных гармоник, создаваемых парами дифракционных максимумов, как описано в разд. 5.3.1. На рис. 5.9 показаны наборы групп синусоид, подобных тем, что создавались отдельно парами разных дифракционных максимумов; их фазы проявляются в расположении «гребней» и «впадин» относительно углов единичной ячейки. Брэгг последовательно экспонировал лист фотобумаги для получения высококачественных картин, подобных тем, что представляют дифракционные эффекты, производимые маской, показанной на рис. 5.8,б. Принимая выдержки ниже уровня, приводящего к излишнему потемнению фотобумаги, он получил картину, подобную показанной на рис. 5.8, в.

Использование рентгеновских лучей на первом этапе формирования изображения в сочетании с применением видимого света и линзы для завершения второго этапа известно [11], как двухволновая микроскопия, хотя Брэгг предпочитал термин «рентгеновская микроскопия». Этот метод

Рис. 5.9. Синусоидальные полосы света и тени, сформированные в плоскости изображения парой дифракционных максимумов [7].

стал основным источником вдохновения для Д. Габора при изобретении им голографии (разд. 5.4) и стал основой метода использования видимого света в обработке изображений электронного микроскопа, разработанного А. Клюгом и его коллегами (разд. 5.5.1).

Как упоминалось выше, отсутствие экспериментальных данных о фазе рентгеновских лучей, которые необходимы, чтобы формирование изображения завершилось оптическим восстановлением, не позволяет использовать этот метод для обьиного определения кристаллической структуры. Решение указанной проблемы - «проблемы фазы» рентгеновской кристаллографии - было достигнуто в основном благодаря развитию математических методов, позволяющих делать выводы о фазах с помощью ЭВМ, исходя из данных об интенсивности рентгеновских лучей и существования определенных граничных условий, таких, как конечные размеры атомов и отсутствие отрицательной - электронной плотности.

Ценность оптической аналогии состоит в том, что она и теперь обеспечивает возможность определения структуры, кроме того она полезна и в различных специальных приложениях, таких, как изучение хаотичности и других эффектов в полу - и поликристаллических материалах. Современная методика, используемая в работе оптического преобразователя (примеры представлены на рис. 5.6 и 5.10), в основном была разработана Липсоном, Тейлором и др. в Манчестере (Великобритания) начиная с 50-х годов. В книге [27] содержится большой набор иллюстраций по этой теме.

(см. скан)

Рис. 5.10. Ухудшение качества изображения при удалении высоких пространственных частот путем фильтрации в плоскости дифракции [60].

3) Апертура линзы и аберрации

На рис. 5.10, а, в, д круглые апертуры уменьшающегося размера были введены в центр плоскости дифракции для ограничения количества информации, определяющей формирование изображения. Удаление внешних

дифракционных пятен маски существенно снижает вклад в изображение высоких пространственных частот. Результаты, показанные соответственно на рис. 5.10, б, г, е, лишены тонких деталей.

Для расчета влияния апертуры мы можем утверждать, что имеется апертурная функция, которая умножает дифракционную картину объекта на 1 внутри ее границ и на 0 снаружи. Поскольку изображение является преобразованием той части картины в дифракционной плоскости, которая обеспечивает вклад в изображение, то мы можем записать

где Т обозначает преобразование Фурье, а для апертурной функции (АФ) должны быть определены соответствующие пределы.

Эквивалентность этого представления рэлеевскому (разд. 5.2) доказывается применением теоремы свертки к вышеприведенному уравнению, которое сразу дает

т.е. изображение является сверткой распределения яркости объекта с картиной Эри, даваемой апертурой линзы.

В соответствии с моделью Рэлея каждая точка объекта считается здесь источником и изображается как картина Эри апертуры линзы.

Относительно аберраций можно сказать, что их влияние видоизменяет апертурную функцию. Однако принципы, о которых речь шла выше, остаются в силе, и для рассмотрения аберраций следует обратиться к специальной литературе.