3.3. НАХОЖДЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ: ЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ

Для четных функций, рассмотренных в предыдущем разделе, уравнение (3.01) можно записать в виде

если считать, что необязательно положительно.

Умножая обе части уравнения на или является целым числом, и интегрируя по периоду D, получаем

Интеграл от каждого члена в первой сумме в правой части этого уравнения равен нулю, поскольку - целое число и h = 0, или является целым числом. То же самое относится и ко второй сумме, за исключением одного члена при h = n, который равен Первый член в правой части также равен нулю при , поэтому все уравнение сводится к выражению вида

Рис. 3.2. Графическое представление выражения

откуда получаем

При h = 0 только первый член не равен нулю, откуда

следовательно,

Теперь понятна причина выбора произвольного множителя 1/2 в постоянном члене уравнения (3.01): это позволяет объединить два приведенных выше выражения для коэффициентов

где

Выражение для постоянного члена является просто средним значением f(x) по всему единичному отрезку картины с периодом D. Этим подтверждается и количественно определяется полученное в разд. 3.2 заключение, что представляет собой постоянную величину, на которую сумма должна подняться над осью х, чтобы достигнуть соответствующей высоты профиля f(x).

Любопытна интерпретация уравнения (3.03) для случая Как показано графически на рис. 3.2 (хотя обычно это иллюстрируется расчетом), если мы хотим выяснить, присутствует ли гармоника определенной пространственной частоты n/D в представлении данной функции рядом Фурье, то надо умножить единичную картину функции на гармонику

этой частоты (единичной амплитуды и нулевой фазы) и затем проинтегрировать по D. Нулевой результат означает, что гармоника в функции отсутствует. Ответ, отличный от нуля, указывает на то, что она есть, и значение, полученное при интегрировании (то есть площадь под кривой произведения) после умножения на 2/D в соответствии с уравнением (3.03), дает ее амплитуду. Фаза гармоники определяется знаком полученной величины и зависит от того, является результирующая площадь под кривой произведения положительной или же отрицательной.

Для наших целей удобнее переписать уравнение (3.02) в следующем виде:

Член при тот же, что и раньше. Для других значений коэффициенты образуют пары члены которых равны и имеют одинаковые пространственные частоты. Следовательно, они складываются, давая ту же амплитуду гармоники, как и в случае, когда имелись только положительные значения n. Отсюда следует, что уравнение (3.03) дает коэффициенты и в уравнении (3.04) для всех , т.е.

Приведение ряда к форме, где представлены пары гармоник с амплитудой, равной половине первоначальной, но с учетом как отрицательных, так и положительных значений , вовсе не случайно. В следующем разделе показано, что этим парам гармоник физически соответствуют пары дифракционных максимумов порядка определяемые решеткой.

Общие выражения f(x) для случая нечетной функции приведены в разд. 3.5.