4.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СВЕТОВЫЕ ВОЛНЫ

Замечания, сделанные в разд. 1.2 относительно природы световых волн и дискретной природы их формирования, могут быть теперь подтверждены. Преобразование Фурье используется для этого таким же образом, как при исследовании соотношения между апертурной функцией и распределением составляющих ее пространственных частот. Вместо того, чтобы рассматривать «пространственный импульс», мы обратимся теперь к импульсу во времени, связанному с распределением (т.е. спектром) временных частот. Сопряженные переменные х и и заменяются временем t и частотой v. Уравнения для преобразования Фурье могут быть записаны путем простой замены символов в уравнениях (4.08) и (4.09), как следует ниже:

Чтобы обеспечить аналогию между этим новым «сценарием» и дифракцией, на рис. 4.7, а представлены прямоугольная функция и преобразование от нее, обозначенные теперь в соответствии с новой переменной. Однако, как мы уже знаем, основная компонента прямоугольной функции не периодическая (т.е. нулевой частоты) с постоянной амплитудой, вследствие чего функция полностью положительна. Более подходящим примером для рассмотрения световых волн является пара преобразований на рис. 4.7, б. Здесь показана чистая синусоидальная волна с частотой представленная в виде цуга конечной продолжительности и длины. Она имеет амплитудно - частотное распределение, размытое около так, что суммирование дает группу волн (или волновой пакет), которая представляет собой профиль в пределах цуга, но суммарная амплитуда равна нулю с любой стороны от него. Если цуг длинный, то частотное размытие невелико и наоборот, т. е. взаимосвязь здесь такая же, как в случае с парой пространственного преобразования Фурье. Строго говоря, монохроматический свет предполагает наличие цугов бесконечной длины, но это условие физически не выполнимо, поскольку свет излучается атомами дискретно, в виде фотонов; в результате все спектральные линии имеют конечную ширину. Если на рис. 4.7, б «ширина» частотного распределения взята в основном в пределах то мы имеем

Эта мера ширины, называемая шириной полосы, использована, поскольку большая часть энергии связана с центральным пиком, что можно

Рис. 4.7. Фурье - преобразование в пространстве время - частота.

увидеть, если возвести амплитуду в квадрат и получить распределение по энергии (спектр мощности).

Поскольку волновые цуги, излучаемые тепловыми (не лазерными) источниками света, не одинаковы по продолжительности и частоты изменяются вследствие теплового движения, влияния полей и т. д., целесообразно принять среднюю продолжительность времени и спектральное распределение, отличающееся до некоторой степени от рассмотренного выше. Однако взаимосвязь между продолжительностью импульса и частотным размытием имеет фундаментальный характер, и если полоса частот равна то мы имеем так называемую теорему о ширине полосы

В этом уравнении является временем когерентности света. Соответствующая длина когерентности равна

С учетом равенства это уравнение принимает вид

Источники света, такие, как газоразрядные трубки, дают спектральную ширину линии порядка 0,1 нм, так что, принимая = 550 нм, получаем = 5500 длин волн. Хотя это количество длин волн велико, физически оно соответствует малому отрезку (около 3 мм), сравнимому с размерами элементов и смещениями, используемыми в интерферометрии.

В гл. 6 мы увидим, как методы Фурье в спектроскопии основываются на измерениях временной когерентности в интерферометрии.

В противоположность вышеприведенному примеру ширина линии лазерного излучения настолько мала, что может достигать десятков километров, в то же время «белый свет» от лампы накаливания с вольфрамовой нитью имеет весьма широкий частотный диапазон (рис. 4.7, в), поскольку состоит из импульсов чрезвычайно короткой длительности и ни одна из частот не является доминирующей (условие, использованное некоторыми авторами как определение импульса).