2.3. КРУГЛАЯ АПЕРТУРА

Картина дифракции Фраунгофера от круглой апертуры особенно важна в связи с требованиями к качеству большинства оптических приборов.

К сожалению, детали картины трудно получить графическим векторным методом, который использовался в предыдущем разделе для апертуры в виде щели. Причина состоит в том, что не все полоски, на которые предполагалась разделенной апертура, имеют теперь одинаковую длину (см. апертурные функции на рис. 2.5, а). Их размер постепенно увеличивается, а затем уменьшается по апертуре и векторная диаграмма уже не имеет формы правильного многоугольника. Решение для этого примера лучше всего получается аналитически, а детали можно найти в обычных учебниках. Дифракционная картина (рис. 2.4, а) представляет собой диск в центре, окруженный круглыми концентрическими полосами, и известна как картина Эри по имени сэра Джорджа Эри, члена Британского астрономического общества, который подробно исследовал ее детали в 1835 г.

Рис. 2.5. а - апертурные функции f(x) (сплошная линия - однородно освещенная круглая апертура диаметром а, пунктир - однородно освещенная щель шириной а); б - амплитудные дифракционные картины (сплошная линия - круглая апертура диаметром а; пунктир - щель шириной а); в - критерий Рэлея (картины от круглой апертуры).

Изменение амплитуды по диаметру картины Эри показано сплошной линией на рис. 2.5, б. Хотя она и напоминает картину в случае однощелевой апертуры (показана пунктиром), характер ее описывается не -функцией, а функцией Бесселя. Для нас существенной разницей между ними является то, что первый нуль интенсивности после максимума в центре картины Эри достигается не раньше, чем будет выполнено условие

где а - диаметр апертуры. Смещены также и последующие нули.

Сразу же становится очевидным пример возникновений этой картины при получении изображения звезды с помощью астрономического телескопа, и Эри исследовал ее детали именно для такого случая. Фактически для земного наблюдателя звезда находится на бесконечности, и поэтому ее изображение образуется в задней фокальной плоскости объектива телескопа, где оно изучается с помощью окуляра. Поскольку ее угловой размер (угол, под которым ее диаметр виден с Земли) чрезвычайно мал, ее изображение должно быть близким к точечному. Однако фронты световых волн от звезды прерываются апертурой

Рис. 2.6. Астрономический телескоп. Критерий Рэлея в применении к изображению двух звезд на малом угловом расстоянии.

объектива, имеющей конечный размер, возникает дифракция, и в результате изображением звезды оказывается дифракционная картина Фраунгофера от этой апертуры. Для иллюстрации возникающей при этом дифракции Фраунгофера служит схема на рис. 1.6, где показана апертура объектива, действующая как дифракционная маска.

Независимо от погрешностей объектива (линзы или зеркала) астрономического телескопа он даже в самом лучшем случае дает не точечное изображение звезды, а лишь картину Эри распределения интенсивности, обусловленного апертурой объектива телескопа (такую линзу называют дифракционно ограниченной). В более широком контексте гл. 5 эта картина - отклик системы на точечное (импульсное) воздействие - является функцией рассеяния точки (ФРТ) этой системы.

Уравнение (2.06) показывает зависимость диаметра центрального диска (диска Эри) от диаметра апертуры и длины волны света. Размер этого диска по существу и определяет предельное разрешение телескопа. Рассмотрим изображение двух звезд с малым угловым расстоянием 0 (рис. 2.6). Поскольку они являются некогерентными по отношению друг к другу источниками, изображение состоит из двух картин интенсивности Эри. Поэтому возможность разрешения двух звезд зависит от размера дисков Эри и расстояния, на котором они перекрываются. Общепринятое граничное условие, критерий Рэлея, представляет собой расстояние, показанное на рис. 2.4, б и 2.5, в. Согласно этому критерию, две картины разрешаются, если центр диска Эри одной из них налагается на темное кольцо другой. Это обеспечивает провал на 20% в суммарной кривой интенсивности между пиками (которые предполагаются нами одинаковыми по интенсивности). Величина этого провала, хотя и выбрана весьма произвольной, тем не менее является во многих случаях удобным критерием разрешения.

Отсюда на основе критерия Рэлея уравнение (2.06) дает предел углового разрешения для телескопа с размером апертуры а в виде

или, приближенно для желтого света,

Рис. 2.7. Оптический микроскоп (случай самосветящегося объекта), а - изображения (картины Эри) двух точек объекта О и О, разделенных расстоянием s, согласно критерию Рэлея, разрешаются линзами объектива, если так как . Из схемы б находим: следовательно,

(Для улучшения способности телескопа разрешать очень близкие изображения звезд можно подавить кольца, окружающие диск Эри. Это достигается путем аподизации - видоизменения апертурной функции объектива с помощью, например, стеклянной пластинки, пропускание которой изменяется от точки к точке наперед известным способом. Однако за ограничение пропускания объектива приходится расплачиваться уширением самого центрального диска.)

Те же самые факторы определяют предел разрешения зрительных труб или фотокамер, предназначенных для наблюдения земных объектов. При нормальных условиях освещенности каждая точка наземного объекта рассеивает свет и участвует в формировании изображения независимо от соседних точек. Ситуация здесь фактически такая же, как при построении изображения звездного скопления. По этой причине термин «самосветящийся объект» зачастую с определенной степенью вольности используется в обоих контекстах для краткого указания на объекты, изображения которых строятся при некогерентных условиях. В случае зрительной трубы или фотокамеры изображение каждой точки объекта, служащей источником, также не является точкой, а представляет собой дифракционную картину апертуры объектива (ср. с разд. 1.3.1). (Мы не будем рассматривать роль окуляра при формировании изображения телескопом или микроскопом, о котором речь идет ниже, поскольку он представляет собой вторичный элемент оптической схемы и не является главным источником искажений.)

Аналогичная ситуация возникает и при использовании оптического микроскопа (простого или сложного) для изучения самосветящегося объекта при условиях, подобных рассмотренным выше. На основе критерия Рэлея, как и в телескопе, минимальное расстояние s на рис. 2.7, а

между двумя точками объекта, которое можно разрешить микроскопом, определяется соотношением

где - половина угла, стягиваемого объективом, с вершиной у объекта. Если пространство объекта заполнено средой с показателем преломления (используется масляно - иммерсионный объектив), то тогда длина волны света уменьшается до и приведенное выше выражение принимает вид:

где - числовая апертура объектива микроскопа. Максимально возможное значение i равно 90°, что примерно определяет предел разрешения микроскопа (1/2)

В общем случае в оптических системах формирования изображения имеется диафрагма, которая регулирует способность системы собирать свет. Эта апертурная диафрагма, нередко помещаемая между различными линзовыми элементами систем, неизбежно приводит к возникновению дифракции. Со стороны объекта ( т. е. источника) эта апертура называется входным зрачком, а со стороны изображения - выходным зрачком. На языке инструментальной (приборной) оптики зрачки являются, таким образом, изображениями апертурной диафрагмы, построенными в пространствах объекта и изображения. А определенная уже в разд. 2.2 апертурная функция, представленная в координатной системе пространства изображения, называется (выходной) функцией зрачка.