3.5.2. Выражение в экспоненциальном виде

Для действительной функции f(x) мы можем воспользоваться уравнением (3.01) и переписать его в виде

Знак минус перед i во второй сумме может быть приписан и, что позволяет выполнять суммирование для отрицательных значений . Следовательно, уравнение может быть преобразовано к виду

что кратко можно записать, как

Комплексные коэффициенты содержат в себе как показано ниже:

В результате следует, что

где звездочка означает комплексное сопряжение.

Коэффициенты, полученные таким же образом, как в рядах по косинусам, дают нам пару уравнений

Для примера рассмотрим ряды Фурье в экспоненциальном виде для функции . Конечно, это выражение можно было бы подставить в уравнение (3.13) и получить коэффициенты Фурье Однако ответ можно получить и проверкой, поскольку

Экспоненциальное представление ряда для включает только эти два члена, а именно члены, для которых с коэффициентами 1/2.

Аналогично если , то только члены не равны нулю, а коэффициенты соответственно равны Рис. 3.5 показывает эти два примера в графическом виде.

Уравнение (3.13) было получено из уравнения (3.01), т.е. при действительной , когда мнимые члены, возникают только таким образом,

Рис. 3.5.

как было показано выше, и полное выражение все еще оказывается действительным.

Приведенные выше примеры иллюстрируют также условие, налагаемое уравнением (3.12). Таким образом, для четных действительных функций пары коэффициентов действительны и имеют одинаковый знак, тогда как для действительных нечетных функций пары комплексно сопряжены и имеют противоположные знаки.

Для комплексных функций уравнение (3.12) не выполняется. Это легко иллюстрируется при рассмотрении функции вида

коэффициенты которой равны

В качестве последнего примера экспоненциальных рядов Фурье, читатель может получить коэффициенты для периодической прямоугольной функции, показанной на рис. 3.3, а. Можно показать, что подстановка параметров этой функции в уравнение (3.13) дает

Здесь, как и раньше, получается дискретная -функция [уравнение (3.06)]. Поскольку функция действительная и четная, коэффициенты действительны и попарно равны, как получено в разд. 3.3 с помощью разложения по косинусам.