4.4. СВЕРТКА

4.4.1. Введение

В предыдущем разделе апертурная функция решетки в целом была описана как распределение составляющей ее функции одиночной апертуры и соответствующей последовательности -функций, определяющей структуру решетки. Такое распределение одного явления, определяемого в некотором смысле другим, представляет собой пример «свертки». Это процесс, который проявляется в разных формах и в многочисленных контекстах. Представление свертки, содержащееся в теореме свертки (разд. 4.5), чрезвычайно важно и полезно для решения целого ряда проблем. Однако наибольшее значение свертка имеет в областях формирования и обработки изображения, которые мы здесь и рассматриваем.

Имеются особые свойства свертки, которые не очень четко иллюстрируются на примере из-за разрывной природы -функций. В качестве введения мы рассмотрим более общий случай, когда непрерывный «входной» сигнал обрабатывается системой, создавая «выход».

Представим себе, что функция f(х) на рис. 4.5, а является одномерным входным сигналом для какого-нибудь устройства. Это может быть, например, подаваемое на усилитель напряжение, изменяющееся во времени; тогда вместо f(x) мы введем обозначение Или же это может быть пространственное распределение интенсивности света в определенном направлении х по экрану. В первом из этих примеров, очевидно, потребуется усилитель, для увеличения (усиления) каждой ординаты (см. рис. 4.5, а) в несколько раз, чтобы сформировать выходной сигнал. Во втором примере можно представить, что фотометр обеспечивает точное сканирование и измерение распределения интенсивности f(x) и определенным образом воспроизводит его. В обоих случаях, однако, обработка «входа» практически оказывается весьма несовершенной. Каждая ордината входного сигнала не воспроизводится чисто, а размывается. Таким образом, входная -функция при х = 0 создает на выходе некоторую функцию а не -функцию.

(см. скан)

Рис. 4.5. Свертка

Мы принимаем, что «форма» отклика системы, включая нежелательное размытие, является инвариантной, т. е. она одна и та же для каждого значения х. Отклик представлен треугольником на рис. 4.5, б при двух значениях где он соответствует для единичного сигнала на входе. Рассмотрим, что происходит на входе в точке (рис. 4.5, а). В этом случае ордината на входе равна и она размывается откликом системы, становясь кривой показанной сплошной линией на рис. 4.5, в. Таким образом, является «весом» единичного отклика . В этом размытии только ордината при создает реальный вклад в выходной сигнал при Эта выходная ордината не показана на рисунке, поскольку следует иметь в виду, что здесь имеются другие вклады, которые порождаются размытием других ординат в Один из таких вкладов, возникающий из-за размытия ординаты при х на рис. 4.5, а, показан пунктирной кривой на рис. 4.5, в. Этот вклад, создаваемый на выходе при является ординатой

В этом случае общий выходной сигнал при показанный как h на рис. 4.5, г, является суммой воздействия размытия при на все ординаты f(x). В приведенном примере только относительно блцзкие ординаты будут оказывать влияние, потому что довольно узкая. Общий выходной сигнал при определяется следующим интегралом:

То же самое применимо к любому значению поэтому выходной сигнал можно выразить в виде

Этот интеграл известен как свертка где обе функции могут быть комплексными. Кратко эта запись представляется в виде

или просто .

Хотя название свертка (convolution) для этого интеграла является общепринятым, имеются и другие, например свернутое произведение (folding product, ср. немецкое Faltung - складка), составное произведение (composition product), интеграл суперпозиции (superposition integral). В соответствующем контексте g( х) будет называться сглаживающей функцией (или размътием), функцией рассеяния линии (ФРЛ) или в двумерном случае функцией рассеяния точки (ФРТ).

Рассмотренный нами пример иллюстрирует, каким образом свертка

обусловливает распределение одной функции в соответствии с законом, определяемым другой функцией. Эта операция предполагает умножение каждой ординаты функции целиком на другую функцию и суммирование результатов. Следует отметить, что, как нередко бывает на практике, мы имеем дело с линейной системой, т.е. подразумевается, что ее выход является линейной суперпозицией выходов, получаемых от каждого отдельного компонента на входе. Отметим также, что мы предполагаем «инвариантность» функции . Мы вернемся к этим проблемам в разд. 5.1.

До сих пор нами рассматривалась преимущественно физическая сторона картины. Для расчета выхода при любом частном значении таком, как необходимо выполнить интегрирование согласно уравнению (4.24). Эта процедура представлена графически на рис. 4.5, д, где х является вспомогательной переменной интегрирования. Функция умножается на и область (заштрихованная) под кривой произведения представляет собой величину выхода при . Отметим, что перед умножением и интегрированием как смещается, так и переворачивается (ср. термин «свернутое произведение» как альтернативу «свертке»). Вследствие этого «перевертывания» свертка является коммутативной, т.е.

Она также ассоциативна:

и дистрибутивна по сложению: