6.2.2. Проблемы видности полос

Вначале Майкельсон рассмотрел несколько примеров источников различной формы, но с однородным распределением яркости [37]. Он воспользовался схемой, которая в основном была аналогична показанной на рис. 6.3 (с другими обозначениями), и рассуждал следующим образом.

Некогерентный источник шириной W стягивает угол с вершиной на интерферометре, показанном с перпендикулярными рисунку щелями, изменяемое расстояние между которыми равно D. (Величину D можно также рассматривать как расстояние между внешними зеркалами в предыдущем инструменте.) Рассмотрим свет от элементарной полоски шириной в точке S источника на расстоянии х от его оси. Пусть - длина полоски, перпендикулярной рисунку. Поле освещенности от этой полоски выделяется в точках В и С и дифрагировавший от В и С свет образует обычную дифракционную картину. (Огибающая интерференционной картины от одиночной апертуры может быть опущена, поскольку требуется рассмотреть только самые ближайшие к оси полосы.) Для расчета интенсивности полос в направлении 0 обратим

Рис. 6.3.

внимание, что разность пути между двумя расстояниями SCE и SB равна

(разность SC — SB получается так же, как на рис. 2.7; параметр i равен здесь и считается малым). Результат, получаемый для единичной амплитуды обычным образом с помощью векторной диаграммы, представляется в виде

что дает для интенсивности знакомое выражение типа

или

Ввиду некогерентности источника каждая полоска дает ряд отдельных интерференционных полос. Поскольку полоски имеют одинаковую яркость

Рис. 6.4. а - распределение яркости источника; б - кривая видности.

мы можем умножить приведенное выше выражение на площадь полоски f(x)dx, чтобы представить взвешенный вклад от этой полоски в полную картину интерференционных полос. В пределе, когда ширина полоски стремится к нулю, результирующая интенсивность в направлении находится интегрированием уравнения (6.06):

где опущен множитель 2.

Для вычисления видности полос, согласно ее обычному определению [уравнение (1.05)], необходимо получить максимальное и минимальное значения интенсивности на результирующей картине. В качестве одного из примеров Майкельсон рассматривал прямоугольный источник равномерной яркости (рис. 6.4, а), для которого была задана его ширина W. Распределение источника ориентированное параллельно щелям, теперь постоянно и может быть для простоты принято равным единице. В результате интегрирования уравнение (6.07) дает

Максимальное значение I достигается при , где u - ноль или целое, а минимум - при . Учитывая, что масштаб на рис. 6.3 сильно искажен, мы можем записать откуда . В результате получаются следующие выражения для и

Следовательно, функция видности определяется выражением

(Обозначение ) подчеркивает наше желание найти V как функцию D для заданной X и фиксированного неизвестного значения

Это выражение представляет собой -функцию, известную нам из предыдущих глав как дифракционная картина, и фурье - преобразование апертурной функции, имеющей такую же «форму», как и распределение яркости на рис. 6.4, а. Сходство этих двух совершенно различных примеров не является случайным совпадением, но подробнее об этом поговорим ниже (разд. 6.4.1). Кривая видности на рис. 6.4, б спадает до нуля при затем повторно при . Это ее поведение согласуется с интерпретацией, приведенной в предыдущем разделе.

Теперь нужно учесть неравномерность распределения яркости. Если положим, согласно Майкельсону [37], что полная интенсивность от элементарной полоски S на расстоянии х (рис. 6.3) равна , то этим исключается дополнительная трудность, связанная с формой источника. Фактически это сводит задачу к определению одномерного распределения интенсивности. Более того, если рассмотреть частный случай четной функции (распределение яркости, которое симметрично относительно оси на рисунке) и если сделать замену переменной х на угловую переменную (изменяющуюся от до ), то легко получается следующее соотношение для видности:

Для одномерного случая в общем виде, когда не является четной функцией, но по-прежнему принимается то, что Майкельсон называл «полной интенсивностью полоски шириной получается выражение следующего вида:

Майкельсон пророчески сделал вывод, что из измерений видности «можно найти распределение интенсивности излучения шаровых масс, которое должно послужить ценным ключом для нахождения распределения температуры и плотности в газовых туманностях».

Аналогичная ситуация возникла с теоретической работой Майкельсона,

посвященной зависимости видности интерференционных полос от спектрального распределения (разд. 6.3.2). Именно в этой связи лорд Рэлей [50] обратил внимание на фурье - соотношение между видностью полос и (спектральным) распределением интенсивности. Такое соотношение применимо и здесь, и, завершая этот раздел, будет интересно и поучительно несколько глубже рассмотреть вопрос фурье - преобразования с современной точки зрения.

Числитель в уравнении (6.12) представляет собой косинус - преобразование Фурье от , а знаменатель выполняет роль простого масштабного коэффициента. Нетрудно заметить, что для каждого значения длины базы D видность дает информацию об одном конкретном фурье - компоненте распределения яркости. Это легко выясняется с помощью теоремы о свертке (разд. 4.5). Выразив наблюдаемую интерференционную картину при данном D в виде свертки с инструментальным откликом, мы получаем из теоремы о свертке, что фурье - преобразование этой свертки является произведением отдельных преобразований. Но преобразование инструментального отклика представляет собой набор полос вида , у которых имеется единственная пространственная частота, определяемая значением D. Поэтому оказывается, что преобразование от наблюдаемой дифракционной картины лепестков при данном D содержит информацию лишь об одной гармонике в распределении яркости источника.

Связь между видностью полос и когерентностью рассматривается в разд. 6.4, но сначала мы обсудим проявление видности лепестков как функции спектрального, а не пространственного распределения источника излучения, воспользовавшись на этот раз описанием спектрального интерферометра Майкельсона.