3.2. РЯДЫ ФУРЫ

Использование рядов Фурье для представления периодической картины, такой, как оптическая структура решетки, можно проиллюстрировать рис. 3.1, а, где показано только два периода. Этот частный случай выбран оттого, что он дает возможность ясно продемонстрировать, как его можно представить рядами Фурье, а также с учетом возможности использовать его для объяснения в дальнейшем интересного примера (разд. 3.4.2).

Ряд Фурье для одномерной периодической функции f(x) может быть записан как

т.е. в виде бесконечного ряда гармонических «волн» с амплитудами (коэффициенты Фурье), фазами и постепенно уменьшающимися «длинами волн» D/n, называемыми в дальнейшем «периодами» во избежание путаницы с оптическими длинами волн. Величина является постоянной, а множитель 1/2 служит только для упрощения в дальнейшем записи некоторых уравнений.

Аналитическая процедура определения коэффициентов для любой заданной функции f(x) описана в разд. 3.3. Между тем рис. 3.1, б

Рис. 3.1. Представление периодической функции рядом Фурье.

показывает графически, как можно распознать, по крайней мере качественно, первые несколько членов фуръе - разложения конкретной картины. На этом рисунке мы видим, что член с подобен до некоторой степени Величина может принимать значения 0 или , однако в этом примере является четной функцией, и ухудшило бы сходство. В грубом приближении представлены по крайней мере наибольшие максимумы в картине, но не слабые. Член, соответствующий помогает существенно улучшить сходство. Добавленный к члену со значением своей амплитуды он начинает выделять слабые максимумы и усиливать сильные. Добавление более высоких гармоник постепенно улучшает соответствие. Однако до этого момента суммирование распределяется равным образом выше и ниже оси х. Постоянный член в уравнении (3.01) как раз и поднимает характеристику над осью х до истинного уровня кривой ).

Значения в уравнении (3.01) являются «фазами» гармоник. Например, фаза означает, что косинусный член при сдвигается вдоль оси х на величину D/2 по сравнению с косинусоидой с нулевой фазой.

Суммирование гармоник, фуръе - синтез, формально справедливо до Практически, однако, менее сотни членов в большинстве случаев вполне достаточно, хотя можно привести примеры, когда их требуется больше.

Структура оптической дифракционной решетки может быть представлена рядами Фурье таким же образом, как и для картины, которую мы только что рассматривали. Например, как расширение понятия «апертурная функция» для одиночной щели (разд. 2.2) на рис. 3.3, а апертурная

функция однородно освещенной многощелевой решетки может быть представлена функцией f (x). Представление ее в виде рядов Фурье и чрезвычайно важное соотношение между рядами и дифракционной картиной, создаваемой решеткой, рассматриваются в разд. 3.4. С этой целью в следующем разделе вводится метод, используемый для количественной оценки членов рядов Фурье.

В связи с использованием нами рядов Фурье при исследовании дифракции полезно расширить наше представление о частотах гармоник, а также об их периодах. Подобно тому, как периодичность во времени Т соответствует временной частоте 1/Т, так и период пространственной гармоники D/n соответствует пространственной частоте n/D, которая представляет собой число повторений на единице масштаба картины.