Приложения

Приложение А. Скалярное описание электромагнитных волн

А.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СКАЛЯРНОЙ ВОЛНОЙ

Если точка Р на рис. А. 1 вращается вокруг точки С с равномерной скоростью, то ее проекция Р на ось совершает простые гармонические колебания относительно О. Если Р прикреплена к концу струны, как показано на рис. А. 1, б, то передаваемое по струне волнообразное движение аналогично модели скалярной волны для света (без учета поляризации). Чтобы описать это движение аналитически, мы поступим следующим образом. Вначале заметим, что смещение точки Р относительно О при колебаниях определяется выражением

где A - амплитуда колебаний, Г-период колебаний (с), - частота (колебаний/с), - угловая частота (радиан/с).

Поэтому выражение для волнового движения, распространяющегося вдоль струны, можно записать в виде:

За каждое колебание волна проходит расстояние в одну длину волны (X), и потому скорость волны равна

откуда следует известное соотношение

(Читатель может убедиться, что отрицательный знак в уравнении относится к волне, распространяющейся в положительном направлении х и наоборот.)

Часто уравнение записывают иначе в виде

где и поэтому

Величина к называется по-разному: угловое волновое число, постоянная

Рис. А. 1.

длины волны, волновая постоянная и постоянная распространения. Часто эта величина используется просто для обозначения и тогда зовется (спектроскопическим) волновым числом (более широко принятое обозначение использовалось в разд. 6.3.2).

До сих пор для рассматриваемой волны при в момент Аналогичная волна изображена на рис. А. 2, б, но она задержана относительно только что рассмотренной на расстояние Поэтому ее уравнение записывается в виде

Из рис. А. 2 очевидно, что и поэтому

где называется фазой, фазовым углом или фазовой постоянной

В случае волны, описываемой уравнением а называется разностью фаз, а - разностъю пути. Таким образом, мы получаем часто используемое соотношение

А.2. КОМБИНАЦИЯ ВОЛН

А.2.1. Принцип суперпозиции: интерференция

В этой книге часто приходится находить результирующую освещенность, когда несколько световых волн, различающихся только амплитудой и фазой, накладываются в некоторой точке, скажем на экране.

Рис. А. 2.

В соответствии с принципом суперпозиции результирующее возмущение в этой точке представляет собой сумму отдельных возмущений.

Рассмотрим распространение двух волн

где - разность фаз между ними. Тогда

или, в общем виде,

Этот результат представляет собой точно такую же световую волну, как отдельные падающие волны, с неизменной частотой и скоростью распространения. Однако ее амплитуда не равна простой сумме амплитуд отдельных приходящих волн. Между ними имеется интерференция, степень которой зависит от а. Если разность фаз а между двумя приходящими волнами определяется выражением (где n - нуль или целое), что соответствует нулевой разности пути или разности пути в целое число длин волн, то амплитуда результирующей волны действительно равна . Однако если , то две волны полностью не совпадают и результирующая амплитуда равна нулю. Разность фаз между этими двумя крайними случаями дает результат с промежуточными значениями амплитуд.

Аналогичный результат получается, если амплитуды двух падающих волн не равны, хотя здесь, конечно, не может быть полного подавления.

Заметим, что если указанные волны вновь разделить после прохождения ими места, где они интерферируют, то оказывается, что интерференция не оказала на них никакого влияния. Заметим также, что интерференция может возникать только между волнами, имеющими одну и ту же скорость.

Для удобства место расчета интерференции можно взять при х = 0.

Рис. А. 3.

Уравнение (А. 04) принимает вид смещения

Результирующее смещение от волн с различными амплитудами и фазами можно записать в виде суммы

которая сводится к выражению

Иногда суммирование легче всего выполнить с помощью векторной диаграммы, описанной в следующем разделе, а иногда алгебраически. Наиболее простым для алгебраического суммирования является использование экспоненциального обозначения (разд. 2.3).

А.2.2. Векторные диаграммы

Выражение (А.07) можно разложить

где тогда содержат информацию об амплитуде и фазе волны, как показано на рис. А.З, а. При этом

напоминают компоненты двухмерного вектора, но поскольку углы представляют здесь собой фазу, а не направление, то для того, чтобы подчеркнуть различие, используется термин фазовый вектор. Поэтому суммирование уравнения (А. 08) можно выполнить графически, и рис. А.З, б показывает, что результирующая амплитуда [R в уравнении (А. 09)] представляется выражением

а фаза

А.2.3. Экспоненциальное представление

Другой общеизвестный метод основан на выражении

где указывает на то, что имеется в виду только действительная часть выражения; обычно для краткости (Ш опускается. Величина называется комплексной амплитудой.

Сумма [уравнение (А.08)]

переписывается в виде

где подразумевается.

Как и раньше, результат суммирования имеет вид

поэтому

Таким образом, комплексная амплитуда суммы равна сумме комплексных амплитуд.

Суммирование выполняется алгебраически, и тогда умножение полученного выражения на соответствующее комплексно сопряженное дает R, так как

Этот метод напоминает метод фазовых векторов, но с суммированием в комплексной плоскости. Таким образом, разложение уравнения (А.12)

Рис. Б. 1.

и приравнивание действительной и мнимой частей дает

и, следовательно,

как в уравнении А.10).

В связи с интерпретацией, согласно которой векторная диаграмма может рассматриваться как сложение комплексных амплитуд в комплексной плоскости, необходимо отметить, что вращение фазового вектора на угол а соответствует умножению комплексной амплитуды на . Именно потому чаще всего и используется экспоненциальное обозначение, поскольку последний тип операции зачастую является более легким, чем приведение тригонометрических формул.