Глава 3. Ряды Фурье и периодические структуры

«Теорема Фурье не только является одним из самых прекрасных результатов современного анализа, но и, можно сказать, представляет собой совершенно незаменимый инструмент для решения почти всех неясных проблем новейшей физики».

Лорд Кельвин

3.1. ВВЕДЕНИЕ

В гл. 2 на частном примере было показано, что результат дифракции от периодических объектов в форме оптической решетки определяется «структурой» решетки, характеризуемой ее апертурной функцией. То же самое оказывается верным и для результатов по дифракции рентгеновских лучей, полученных из исследования расположения атомов, образующих периодическую структуру кристалла, подобную решетке. Мы отмечали также, что оптическая дифракция является промежуточным шагом в формировании изображений с помощью линзы. При этом линза выполняет задачу сведения дифрагированного света в плоскости изображения. При работе с рентгеновскими лучами линза непригодна, и для формирования изображения структурного расположения атомов в кристалле при воздействии рентгеновских лучей должны использоваться другие, нежели дифракция, способы построения изображения.

Для более глубокого понимания этих вопросов, а также по другим причинам, описанным в гл. 5, нам нужно больше узнать о соотношении между дифракционной картиной и структурой создающего ее объекта. На этой стадии методы фурье - анализа начинают играть особенно важную роль.

Ограничимся пока периодическими структурами, такими, как многоапертурные решетки или кристаллы, полную апертурную функцию (или «структуру») которых математически можно построить путем суммирования бесконечных рядов из синусоидальных гармоник - рядов Фурье, названных в честь Ж. Б. Ж. Фурье, пионера этого математического метода.

Утверждение, что периодическая функция может быть выражена в виде суммы последовательности гармоник, известно, как теорема Фурье. Большинство функций подчиняется ей, и отдельные исключения, хотя ни одно из них и не упоминается в этой книге, могут быть найдены в учебниках математики.

Строго говоря, дифракционная картина, которую можно представить рядами Фурье, должна повторяться бесконечное число раз. В этой связи в приложениях, которые нам будут встречаться, число повторений должно быть достаточным для правомочности использования радов. На практике в большинстве используемых решеток число повторов

достаточно велико. Например, в кристалле с линейным размером 1 мм присутствует более одного миллиона повторений «элементарной единичной картины», характерной для структуры расположения атомов.

В этой главе мы рассмотрим замечательный факт, состоящий в том, что дифракционная картина, создаваемая решеткой, представляет собой проявление, почти физическое воплощение, тех гармоник, которые составляют математическое описание структуры решетки.

Дифракция является промежуточной стадией в формировании оптического изображения. Это означает, в частности, что на стадии дифракции мы можем путем расчета управлять процессом образования изображения. Указанное обстоятельство определяет многие аспекты оптической обработки (гл. 5). Другим главным следствием стала разработка методов определения атомной структуры кристаллов независимо от их сложности по результатам рентгеновской дифракции.

В гл. 4 соотношения, относящиеся к периодическим структурам, распространяются также и на непериодические. Но сначала о некоторых свойствах рядов Фурье (разд. 3.2 и 3.3) и их связи с дифракцией на непериодических структурах (разд. 3.4).