Глава 5. Формирование и обработка оптического изображения

5.1. Введение

В этой главе в общих чертах показаны главные положения фурье - анализа при формировании оптического изображения и его обработке в условиях когерентного и некогерентного освещения. Они включают как одиночное преобразование Фурье, так и преобразование в сочетании со сверткой и корреляцией. Следует, однако, сразу же привлечь внимание к тому факту, что важность этих положений не ограничивается обработкой данных, имеющих оптическое происхождение. В настоящее время можно привести большое число примеров, когда методы оптической обработки используются для данных, по своей природе не являющихся оптическими. Основная причина кроется в том, что математические операции, которые применяются для большинства оптических систем, часто используются также в системах связи. Оптический аналог весьма привлекателен, поскольку ему свойственно преимущество двумерного представления и параллельной обработки данных. Этот способ во все увеличивающейся степени внедряется в практику в связи с разработкой электронно - оптических устройств сопряжения в сочетании с ЭВМ. Когда по каким-то причинам оптические методы не употребляются, ЭВМ может применяться изолированно в целях использования тех же фундаментальных принципов для «цифрового изображения» и обработки.

Однако цель данной главы состоит в рассмотрении лишь существа преобразования Фурье, свертки и корреляции, о которых мы уже говорили в «оптическом» контексте в предыдущих главах. Эти операции образуют основной инструментарий в области формирования и обработки оптического изображения. Для более детальной информации по конкретным вопросам и многочисленным приложениям в областях связи следует обратиться к соответствующей специальной литературе.

Перед детальным рассмотрением указанных вопросов было бы полезно сделать предварительный обзор разд. 5.2, 5.3, посвященных собственно формированию оптического изображения. Оптическая обработка в противоположность построению изображения связана с вмешательством в процесс разными способами и для разных целей и является предметом разд. 5.5.

На современном этапе известны две полезные модели формирования оптического изображения, каждая из которых наиболее удачно применяется в совершенно определенных условиях. Обе они были затронуты в гл. 1 и упоминались в той или иной степени в промежуточных главах.

В первой модели делается акцент на общий характер дифракции (рассеяние) света от объекта, когда условия по крайней мере частично когерентны, и на способ сведения света для формирования изображения. Аспекты анализа Фурье, относящиеся к первой части этого вопроса, уже знакомы нам по гл. 3 и 4. В разд. 5.3 мы рассматриваем их снова на этот раз с учетом второго этапа формирования изображения. Эта модель первоначально была сформулирована (в основном качественно) в 1873 г. Э. Аббе [1], который занимался проблемами наблюдений периодических объектов под микроскопом. Как можно сказать, пользуясь современной терминологией, он выяснил, что при способах освещения, используемых обычно в оптической микроскопии, формирование изображения вовсе не является полностью некогерентным процессом, как иногда полагают; в действительности в некоторых современных системах он может быть почти когерентным.

Для когерентно освещенного объекта количественное отождествление порядков дифракции с членами рядов Фурье, описывающих структуру объекта, и процесс их восстановления в изображение с помощью линзы, подобный фурье - синтезу, довольно подробно обсуждались А. Б. Портером в 1906 г. [47]. (Тогда не предполагали, что значительный шаг в этом направлении уже был сделан лордом Рэлеем [49] в 1874 г. и особенно в его статье [51].)

Расширение интерпретации Аббе-Портера с указанием на аналогичную роль преобразований Фурье в формировании когерентного изображения непериодических объектов было осуществлено главным образом специалистами по рентгеновской кристаллографии в начале 40-х годов.

Важность подхода с использованием этой модели состоит в ее чувствительности к процессу, при котором пространственные частоты «структуры» объекта (периодической и непериодической) выражаются дифрагированными волновыми фронтами и восстанавливаются для формирования изображения. Использование когерентного освещения позволяет воздействовать на дифракционную плоскость (плоскость пространственных частот) таким образом, что формирование изображения может управляться посредством «фильтрации». Это один из аспектов оптической обработки, другие упомянуты в разд. 5.5.

Вторая модель формирования изображения, которую мы рассматриваем в разд. 5.2, применима к условиям как когерентного, так и некогерентного освещения. И здесь Рэлей внес важный вклад [51], на этот раз под влиянием более ранних работ Эри и Гельмгольца. Модель представляет изображение как комбинацию картин Эри (или более сложных картин, если присутствуют аберрации), которые оптическая система должна создавать отдельно для света из каждой точки объекта. Если освещение некогерентно, то интенсивности картин Эри, определяемые всеми точками объекта, являются просто аддитивными. Если же оно когерентно, то присутствует интерференция и тогда изображение математически представляет собой комбинацию картин Эри с комплексными амплитудами. Рэлей рассматривал оба предельных случая. При

представлении объекта в виде последовательности равно разнесенных точечных источников он использовал ряды Фурье для описания суммирования регулярно расположенных картин интенсивности Эри, формирующих изображение согласно этой модели. Он показал, что в условиях когерентности члены рядов соответствуют порядкам дифракции модели Аббе, упомянутой ранее.

Важным развитием этой модели свертки для формирования изображения является результат Дюфио (1946), который в своей книге «Интеграл Фурье и его приложение в оптике» выразил признательность Майкельсону и Рэлею как пионерам использования методов Фурье в физической оптике. Далее, в гл. 6 мы остановимся более подробно на вкладе Майкельсона. Что касается Рэлея, ученого с чрезвычайно разносторонними интересами, внесшего большой вклад почти во все области физики, следует отметить, что он получил свою Нобелевскую премию по физике в 1904 г. за исследования плотности газов и за открытие аргона.

Дюфио, по-видимому, первым выразил аналитически изображение непрерывного распределения интенсивности по объекту в виде свертки (он применял термин faltung - складка) этого распределения с функцией которую теперь мы называем функцией рассеяния точки, или импульсным откликом системы (картина Эри в простейшем случае). При этом он использовал комплексные амплитуды или интенсивности, соответствующие условиям освещенности. Применение теоремы свертки показало ему, что спектр пространственных частот изображения является произведением частотного спектра распределения объекта и отклика системы. Поэтому оптическую систему можно рассматривать как «переносящую» в той или иной степени компоненты пространственных частот объекта на плоскость изображения. Эта работа представляет нам один из наиболее важных в настоящее время аспектов рассматриваемого предмета, состоящий в том, что система формирования изображения обладает передаточной функцией (по Дюфио facteur de transmission - коэффициент передачи) для каждой частоты, поступающей на ее вход. Такое представление (к этому вопросу мы и переходим), очень удобно при конструировании и анализе оптических систем. Важность этого представления состоит в том, что, как можно убедиться, оно во многом дополняет модель Аббе.

Немалое значение для разработки модели формирования изображения на основе свертки имели работы [57, 15, 16] и др., где отмечалась взаимозависимость между этими аспектами оптики и идеями и методами, применяемыми при анализе электрических цепей различных сетей связи типа линейных систем. Краткое отступление здесь в другую область оправдывается ценным взаимным обогащением идеями, которое обеспечивается пониманием того, что в основе указанных двух направлений лежат одни и те же фундаментальные принципы.

В общем смысле «систему» можно определить как любое устройство, которое «отображает последовательность входных функций в

последовательность выходных функций». Как это отмечалось в разд. 4.4.1 в несколько иных выражениях, система является «линейной», если ее отклик на ряд входных сигналов является суммой откликов, полученных при отдельном воздействии. В приложении к оптике система является линейной, если, как это обычно бывает, пространственные частоты передаются системой с изменением только амплитуды и фазы, но без изменения частот.

При проектировании и анализе линейных электрических цепей один из методов состоял в исследовании выходного сигнала, полученного способом, описанным выше, для случая формирования оптического изображения, т. е. путем свертки входного сигнала (представленного последовательностью импульсов с изменяющейся амплитудой) с единичным импульсным откликом системы. Однако интегрирование, необходимое для исследования влияния различных фильтров, при этом становилось очень сложным. Еще более трудным было обращение свертки, применяемое при проектировании фильтров с условием создания определенных выходных сигналов по заданным входным. Именно применение теоремы свертки обеспечило во многих случаях столь необходимые упрощения. Из этой теоремы следует, что спектр временных частот на выходе линейной электрической системы является просто произведением входного частотного спектра и частотного спектра единичного импульсного отклика системы (ее передаточной функции). Интегрирование во временной области заменяется более простой операцией перемножения в частотной области. Более того, полная частотная характеристика нескольких последовательно включенных фильтров является просто произведением их собственных передаточных функций. Поэтому неудивительны замечания о том, что если бы теория цепей была ограничена временным подходом, то она никогда не получила бы такого развития.

Однако описанное выше прямое использование теоремы свертки как в системах связи, так и в системах формирования оптического изображения выдвинуло дополнительное требование, а именно инвариантность (или стационарность). Строго говоря, оно означает, что, например, в электрической цепи отклик на единичный импульс должен не зависеть от момента его подачи на вход, т.е. это должна быть система, инвариантная во времени. Таким же образом в системе формирования оптического изображения представление точечного объекта - функция рассеяния точки - должно быть одинаково по всему полю; это должна быть система, инвариантная в пространстве (ср. разд. 4.4.1). В начале следующего раздела будут обсуждаться следствия этого требования в обработке оптического изображения. (Рассматривается ситуация, при которой система не является инвариантно линейной. В целом же проблемы нелинейных систем выходят за рамки этой книги.)

Влияние электротехники на оптику, проявившееся и во многих других аспектах, сильно возросло в результате исследований Винера [63] и Шеннона [58] по теории статистических цепей и теории информации.

Рис. 5.1. Функция рассеяния и передаточная функция. Схема функциональных связей при некогерентном освещении. (Г-преобразование Фурье; ФРИ - функция распределения интенсивности; ЧСРИ - частотный спектр распределения интенсивности; ФРТ-функция рассеяния точки; ОПФ - оптическая передаточная функция; - свертка; х - умножение.)

Это привело, например, к использованию корреляционных функций при обработке оптических изображений в реальном пространстве, с некоторыми аспектами которого мы познакомимся в разд. 5.5.