4.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ДИФРАКЦИЯ НА ОДИНОЧНОЙ ЩЕЛИ

Вначале обратимся вновь к периодической прямоугольной функции (рис. 4.1, а). При выбранном начале отсчета она является четной функцией,

(см. скан)

Рис. 4.1. Фурье - анализ периодической прямоугольной функции.

и, как было отмечено в разд. 3.4.2, если ее представить рядом Фурье

то в этом случае коэффициенты

    (4-02)

принимают вид

Это последнее выражение содержит член, который мы называли -функцией, и она снова показана на рис. 4.1, а. Кроме того, если f(x) представляет апертурную функцию всей дифракционной решетки с периодом D, то мы отождествляем ее с амплитудой света от каждой щели только в направлении максимумов решетки (порядка ). Это дифракционная картина на одиночной щели , причем и ограничено характерными значениями, задаваемыми выражением

где будет условием для максимумов решетки (разд. 2.5).

Следует также напомнить, что гармоники в фурье - разложении (уравнение 4.03) апертурной функции решетки интерпретируются как пространственные частоты n/D. Уравнение 4.04 определяет направления главных дифракционных максимумов решетки.

Рассмотрим теперь, что произойдет, если D увеличится, как показано на рис. 4.1, б. Пространственные частоты и, следовательно, направления дифрагировавших лучей становятся ближе друг к другу. Это означает, что для предельного случая непериодической функции возможны все частоты. Разумеется такой вывод согласуется с нашими представлениями о дифракции: дифракционная картина одиночной апертуры является непрерывной функцией от и.

В уравнениях (4.01) и (4.02) n и D тогда теряют свой смысл, и мы переходим к интегралам

В рассматриваемом нами примере f(x) является четной функцией, и говорят, что -косинусное фуръе - преобразование Уравнение (4.06) соответствует уравнению (4.02), и дискретное суммирование в уравнении (4.01) заменено интегрированием в уравнении (4.05). Уравнение (4.03) принимает вид

в согласии с выводом векторной диаграммы дифракционной картины для одиночной щели уравнение (2.05), где величина означает полную амплитуду интенсивности на щели, а здесь соответствует

Если нечетная функция, мы можем точно так же, как в разд. 3.5.2 рассмотреть общий случай в виде интегралов по синусу и косинусу. Однако экспоненциальное представление является в общем более удобным и обладает тем преимуществом, что может быть применено как для комплексных, так и для действительных функций. Используя уравнения (3.10) и (3.13), мы можем непосредственно написать

(Несущественно, какое из этих выражений содержит отрицательный знак.)

В конце данного раздела мы рассмотрим приложение такой экспоненциальной трактовки к простому случаю прямоугольной функции и увидим, что это приводит к результату, аналогичному полученному нами выше. Однако сначала сделаем некоторые общие замечания.

Произведение х и u в этих уравнениях и в уравнениях (4.05) и (4.06) является безразмерным: х и u - сопряженные параметры. И в связи с явной «симметрией» в пределах каждой из этих пар уравнений функции f(x) и описываются, как преобразование Фурье (или «интеграл») одна от другой. Они образуют так называемую пару преобразования Фурье. (Условно принято разделять «преобразование» и «обратное преобразование». Это различие связано с отрицательным знаком в одной из экспонент, но в данном случае для нас оно не имеет физического смысла.)

Чтобы понять, как используются уравнения (4.08) и (4.09) в случае комплексных функций, допустим, что мы имеем комплексную функцию f(x), и хотим рассчитать F (u). Функцию f(x) можно выразить как сумму действительной и мнимой частей следующим образом:

С использованием формулы Эйлера уравнение (4.09) принимает вид

Каждое подынтегральное выражение действительно, и мы видим, что F(u) может быть рассчитано обычным способом путем комбинации первых двух членов с двумя вторыми на комплексной плоскости (диаграмма Арганда).

Прежде чем продолжить наше изложение, покажем, как экспоненциальная форма приводится к простым формам, если функция f(x) действительная, и, в частности, к уравнению (4.05), если она также четная. - Для этого положим

Тогда мы можем представить уравнение (4.08) в виде

Если f(x) - действительная функция, то в данном случае мнимый член должен быть равен нулю. Для этого требуется, чтобы выполнялись условия

которые означают, что

Таким образом, для действительной функции f(x) мы имеем только первый член в уравнении (4.13), т.е.

или, с помощью уравнения (4.12), можем прийти к следующему выражению

где на F(u) наложены условия (4.14). Исходное выражение (4.16) сводится к уравнению (4.05), если f(x) четная функция. Следует отметить, большое сходство между вышеприведенными выражениями и соотношениями, в которых используется представление рядов Фурье в экспоненциальном виде (разд. 3.5.2).

Рис. 4.2. Пара Фурье - преобразований

Как и ряды Фурье, преобразования Фурье в равной мере применимы для двух и трехмерных случаев. Они также используются для сопряженной пары время - частота (разд. 4.6).

Возвратимся к случаю одиночной прямоугольной функции (рис. 4.2, а). Уравнение (4.09) позволяет достаточно просто получить ожидаемую -функцию. Запишем

в соответствии с предыдущими выкладками.

Отметим, что уравнение (4.17) само по себе можно непосредственно связать с амплитудой света, дифрагировавшего в направлении и от однородно освещенной щели шириной а. Это подтверждается рис. 4.3, где видно, что вклад от элемента волнового фронта на расстоянии от начала координат (0) имеет амплитуду и фазу так что для всей щели полная амплитуда равна

Дифракционную картину Фраунгофера, создаваемую одиночной апертурой, в общем случае можно считать преобразованием Фурье от ее апертурной функции. Отметим, что симметрия в соотношении между такова, что если была бы апертурной функцией типа -функции, то ее дифракционная картина должна быть прямоугольной функцией. Эта взаимная перестановка функций показана на

Рис. 4.3. Дифракция Фраунгофера на одиночной щели, рис. 42, б.

Полученные ранее выводы (разд. 2.4 и 2.5), касающиеся соотношения дифракционных картин, создаваемых решеткой и единичной щелью, могут быть теперь расширены для описания картины решетки как выборки преобразования Фурье от апертурной функции единичной щели.

Как преобразование Фурье от единичной щели, так и ряды Фурье для решетки пространственно определены через и в одном случае непрерывно, а в другом дискретно. Следовательно, оба представления могут быть описаны как существующие в пространстве Фурье или частотном пространстве, как показано в разд. 3.4.1 в связи с дифракционной решеткой. Это очень полезное обобщение интерпретации дифракции, и оно является верным для любой апертурной функции.

Отождествление картины дифракции Фраунгофера для апертурной функции с преобразованием Фурье от этой апертурной функции приводит к трактовке линзы как устройства для выполнения преобразования Фурье. Мы настолько привыкли к линзам, что легко забываем о том, какие замечательные качества свойственны этому в сущности простому куску стекла.