4.5. ТЕОРЕМА О СВЕРТКЕ И ДИФРАКЦИЯ

Теперь мы можем сопоставить вместе некоторые данные двух предыдущих разделов и получить результат, который имеет исключительную важность.

В разд. 4.4.2 было показано, что апертурная функция решетки в целом может быть описана как свертка функции одиночной апертуры с последовательностью -функций, которая определяет распределение этой апертуры в решетке.

Как мы видели в разд. 4.4.3, дифракционная картина решетки равна произведению фурье - преобразования функции одиночной апертуры и фурье - преобразования последовательности -функций, определяющих решетку.

Поскольку дифракционная картина решетки является преобразованием Фурье от ее полной апертурной функции, мы можем, следовательно, сказать, что фурье - преобразование свертки функции одиночной апертуры с последовательностью -функций равно произведению отдельных преобразований. Это пример теоремы о свертке, которая утверждает, что фурье - преобразование свертки двух функций равно произведению их собственных преобразований.

В данном контексте эта теорема приводит к очень важному результату, состоящему в том, что свертка в пространстве объекта (физическом пространстве) соответствует умножению в дифракционном пространстве (т.е. пространстве Фурье или взаимном пространстве). Это следствие не только позволяет наглядно объяснить процесс формирования изображения, но и служит мощным инструментом с точки зрения его численной обработки (разд. 5.5).

Поскольку теорема свертки представлена здесь весьма специфическим

способом, у читателя может возникнуть желание ознакомиться с прямым ее выводом.

Мы использовали h(х) для обозначения свертки двух функций Их собственные преобразования Фурье записываются соответственно и G(u), где х и u - обычные сопряженные переменные. Таким образом, теорема свертки может быть выражена в форме утверждения, что если

Для доказательства запишем, используя определение преобразования Фурье:

Заменяя h(x) сверткой и используя уравнение (4.34), получаем

Изменяя порядок интегрирования, запишем

Во внутреннем интеграле, в котором х является постоянной величиной, проводим замену переменной Тогда и

Множитель является постоянным в пределах внутреннего интеграла, и, поскольку остальная часть внутреннего нтеграла не содержит она является постоянной для внешнего интегрирования по отношению к Таким образом, полное выражение разделяется на произведение двух отдельных интегралов:

т.е.

или

где Т обозначает преобразование Фурье.