6.4.2. Временная когерентность

Здесь мы покажем, что фурье - преобразование комплексной функции самокогерентности (или автокорреляционной функции) является распределением интенсивности спектра (спектром мощности). Начнем

с записи определения среднего во времени от в уравнении (6.29) в виде интеграла:

где использовано предыдущее определение А и А. Тогда по определению преобразованием является

где v и - сопряженная пара частота - время.

Подстановка из уравнения (6.41) дает

Второй интеграл в уравнении (6.43) взят по и не зависит от t, поскольку система предполагается стационарной - см. объяснения в связи с уравнением (6.26).

Полагая , получаем

Полученное равенство преобразования Фурье от автокорреляционной функции со спектром интенсивности (мощности) является формулировкой теоремы Винера-Хинчина (см. разд. 4.7.1).

Это выражение совпадает с результатом подхода Майкельсона-Рэлея в разд. 6.3.2. Величину или ее нормированный аналог можно связать с видностью таким же образом, как было сделано для в уравнении (6.39). Напомним, что распределение интенсивности в спектре было обозначено в разд. 6.3.2 как . Кривые видности, полученные с помощью двухлучевого спектрального интерферометра, можно интерпретировать как представляющие функцию разницы длины пути (соответствующей времени , которая была введена с целью сравнения волнового пакета с самим собой.

Теперь элегантность и симметрия двух пар фурье - преобразований стала для нас поразительно очевидной. Кривая видности в спектроскопии определена во временном пространстве, т.е. она является функцией временной задержки, внесенной в два оптических пути спектрального интерферометра, в котором волновой пакет сопоставляется сам с собой (автокорреляция); здесь преобразование представляет собой интенсивность (мощность) спектра источника. В звездном (пространственном) интерферометре кривая видности является функцией расстояния между двумя точками поля освещенности, которые сравниваются (кросс-корре-ляция); ее преобразование представляет собой пространственное угловое распределение яркости источника.