4.3. ДИФРАКЦИОННАЯ КАРТИНА РЕШЕТКИ КАК ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Ниже приводится выражение для дифракционной картины, создаваемой решеткой из N щелей:

Рис. 4.4. -функции и их фурье - преобразования. - функция в начале координат; - функции при х = ± D/2.

Как показано в предыдущем разделе, член «одиночной щели» представляет собой преобразование Фурье от апертурной функции щели.

Обращая теперь внимание на «член решетки» в указанном выражении, мы найдем, что он также является преобразованием Фурье, но на этот раз от «решетчатой структуры», на которой распределены отдельные щели. Полученный результат, состоящий в том, что дифракционная картина (уравнение 4.19) есть произведение двух преобразований, применим и для других форм апертурной функции, а также для одно-, двух - и трехмерных решеток.

Для установления природы преобразования Фурье для члена решетки регулярная структура, образующая решетку, представляется последовательностью «маркеров» с идентичными апертурами - в данном случае щелями. Для такого маркера мы используем так называемую -функцию, математическое представление (как функция она не имеет реального математического смысла), определяемое, как предельная форма прямоугольной функции (рис. 4.2, а), у которой площадь (выбирается обычно равной единице) сохраняется постоянной, ширина стремится к нулю, в то время как высота уходит в бесконечность. Таким образом, -функция равна нулю всюду, за исключением одной характерной точки, где она бесконечна. В некоторых случаях она описывается как (единичная) импульсная функция. (Ни одна из известных обычных функций не ведет себя подобным образом, и потому ее относят к обобщенным функциям; обычно она характеризуется своими интегральными свойствами.)

Рассмотрим, во-первых, единичную -функцию, расположенную в начале

координат на оси х (рис. 4.4, а). Она обозначена как функция и уравнения (4.17) и (4.18) показывают, что ее преобразование Фурье равно единице (если ha = 1) для всех u. Такого результата можно ожидать в случае дифракционной картины от «идеальной узкой» щели (щели бесконечно малой ширины), поскольку здесь не будет разности пути, которая вызывает интерференцию света, дифрагировавшего на щели конечной ширины. Практически такая щель должна пропускать бесконечно малое количество света, и именно в этом смысле она упоминается выше как маркер.

Для построения последовательности -функций, представляющих решетку, необходимо определить -функции при других значениях х. Если -функция смещена от начала координат в положение , то ее можно записать как

и ее преобразование Фурье равно

Положим , тогда и мы имеем

т. е. комплексные числа с единичными модулями и фазой, зависящей от

Равномерная одномерная решетка записывается подобным же образом в виде

    (4.21)

а ее фурье - преобразование

В качестве примера рассмотрим две -функции при Их фурье - преобразование выглядит следующим образом:

Эта конкретная пара Фурье f(x) и F(u) показана на рис. 4.4, б. Здесь F(u) легко интерпретируется как дифракционная картина для двух идеальных узких щелей, расположение которых обусловлено маркерами

типа -функций, определяемыми . Это член решетки в уравнении (4.19) для N = 2.

Таким же образом, преобразование Фурье от линейной последовательности N одинаково расположенных -функций является членом решетки для N одинаково расположенных щелей.

Итак, в итоге мы получаем, что «член одиночной щели» и «член решетки» являются соответственно преобразованием Фурье одноапертурной функции и последовательности -функций, определяющих структуру решетки. Дифракционная картина является произведением указанных двух преобразований, и этот результат не ограничивается приведенным здесь частным примером.