2.5. РЕШЕТКА ИЗ N ЩЕЛЕЙ

Векторный метод, аналогичный использованному для двойной щели в разд. 2.4.1 (рис. 2.10), позволяет легко определить детали дифракционной картины для работающей на пропускание одномерной плоской многощелевой решетки, используемой в лаборатории.

Если решетка состоит из N щелей, то имеется N векторов, каждый длиной R, с такими же, как и раньше, амплитудами от каждой отдельной щели [см. уравнение (2.05)]. Вновь последовательные векторы образуют

между собой угол , где уравнение (2.11)]. Как показано на рис. 2.10, концы векторов лежат на окружности радиуса . Для N щелей результирующий вектор R в итоге равен

Подстановка p дает

Здесь - расстояние между соседними щелями (период решетки). Воспользовавшись, как и прежде, уравнением (2.05) для получаем

Интенсивность определяется квадратом этого выражения, а именно

Вновь мы получили (возведенное в квадрат) произведение двух членов, из которых первый соответствует одной щели, а второй, представленный здесь как член решетки, соответствует для N = 2 в уравнении (2.13).

На рис. 2.11 графически показано формирование члена решетки. Интерференционные полосы, образующие основные пики, являются главными максимумами. Они возникают при полном усилении между светом, дифрагировавшим от последовательных щелей, и, так же как в случае двух щелей, это происходит при , где n - порядок дифракции [ср. с уравнением (2.10)].

В направлениях главных максимумов значение члена решетки равно поскольку при и мы получаем

Поскольку для большинства используемых типов решеток N велико (как правило, десятки тысяч), главные максимумы и более слабые вторичные максимумы становятся очень острыми, как видно на рис. 2.11. Рисунок также показывает, что при больших N вторичные максимумы сближаются. Полное воздействие на вторичные максимумы состоит в том, что они становятся несущественными для дифракционной картины;

Рис. 2.11. Картина дифракции для N щелей (ГМ - главные максимумы; ВМ - вторичные максимумы; пунктиром показан член одиночной щели).

поэтому в дальнейшем мы не будем принимать их во внимание.

Интенсивность освещенности в направлениях главных максимумов выражается как квадрат произведения N на амплитуду дифракции от каждой щели в этих направлениях. Для таких направлений уравнение (2.16) принимает вид

что представляет собой усиленную выборочную функцию , как для случая двух щелей (N = 2). На рис. 2.12 приведены дифракционные картины от решеток с числом щелей N от 1 до 6. Здесь показано, как главные максимумы представляют выборку дифракционной картины одной щели.

Член одиночной щели и член решетки оба могут быть описаны во взаимном пространстве (разд. 2.2). Пространственное распределение главных максимумов в плоскости дифракции Фраунгофера может быть описано как взаимная структура решетки, например одномерная структура

Рис. 2.12. Дифракционные картины от решеток с различным числом щелей [43].

решетки в представленном примере. Таким образом, можно сказать, что для больших N, когда главные максимумы являются острыми, полученную картину можно рассматривать как усиленную выборку дифракционной картины от одиночной щели в точках взаимной структуры решетки. Это представление является весьма важным.

Наконец, следует заметить, что ввиду симметричности картины относительно центрального (нулевого порядка) максимума все другие максимумы (имеются в виду главные максимумы) дифракционных порядков расположены парами симметрично относительно центрального максимума.