6.4. ЧАСТИЧНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ, КОРРЕЛЯЦИЯ И ВИДНОСТЬ

Последующее изложение понятия частичной когерентности в основном соответствует упрощенному подходу Борна и Вольфа в их книге «Принципы оптики» и базируется главным образом на работах Цернике [64] и Гопкинса [28]. В отличие от предыдущих работ оно более тесно связано с экспериментом.

На рис. 6.7 рассматривается поле освещенности, создаваемое в плоскости С источником W, который является одновременно протяженным и полихроматичным. На этом поле взяты две точки С1 и С2. Размещая в каждой из них экран с точечными отверстиями, можно экспериментально измерять видность интерференциальных полос, созданных светом

Рис. 6.7.

от этих конкретных областей поля. Нас интересует зависимость, которая позволяет вычислить по таким измерениям временную и пространственную когерентность освещенности. Видность полос фактически является не чем иным, как убедительным физическим проявлением когерентности, и мы постараемся аналитически связать ее с более фундаментальным свойством.

Рассмотрим возникновение интерференции в некоторой произвольной точке Р (вне оси). Между интервалами прохождения расстояний существует разностная задержка во времени, пусть она равна т. Без потери общности эту разность можно отнести (исключительно с целью упрощения записываемых нами уравнений) к одному пути. Если комплексные амплитуды в равны соответственно , то интенсивность в Р можно записать в виде

где звездочкой обозначено комплексное сопряжение. (В целях упрощения этого представления были опущены коэффициенты передачи комплексной амплитуды при прохождении света через апертуры («функции распространения»), которые позволяют учитывать размер и расстояние апертур от Р.)

Угловые скобки используются в этом уравнении для обозначения того, что измерение интенсивности является (обьино) усредненным во времени процессом. Предполагается, что усреднение выполняется за интервал времени, который больше времени когерентности света.

Перемножение дает

Первые два члена представляют собой интенсивности в С1 и С2 соответственно, которые можно обозначить . (В первом члене только смещает начальный момент усреднения и это обычно не влияет на величину среднего: система предполагается «стационарной».)

Сумма третьего и четвертого членов является суммой комплексного

числа с соответствующим комплексно сопряженным и потому равна лишь его удвоенной действительной части. Поэтому уравнение можно записать в виде

где представляет собой действительную часть величины

В этом определении усреднение во времени можно выразить через интегрирование, и тогда со ссылкой на разд. 4.7 становится очевидным, что может быть описана как комплексная функция кросскорреляции между освещенностями поля в С1 и С2, для которой колебания в С1 рассматриваются на время позже, чем в С2. В современном контексте физической оптики также часто называется комплексной функцией взаимной когерентности поля освещенности в этих точках. Тогда называется взаимной когерентностью, и из сравнения с нашим анализом в разд. 1.1 дифракции на двойной апертуре ее роль в уравнении (6.27) четко соответствует отмеченному в уравнении (1.07) «интерференционному члену».

Если С2 совпадает с С1, то уравнение (6.28) принимает вид

что является комплексной функцией самокогерентности (или автокорреляции) поля в С1. При Гц переходит в чистую интенсивность С1 , и в этом упрощенном случае мы можем записать

Прежде чем двинуться дальше, полезно выполнить нормировку выражений типа уравнения (6.28), чтобы когерентность не зависела от модулей амплитуд (последние фактически не имеют отношения к когерентностям). Нормированная комплексная функция когерентности определяется как комплексная степень взаимной когерентности (или кросс - корреляции) в соответствии со следующим выражением:

Ее называют также фазокогерентным коэффициентом.

С помощью неравенства Шварца в математике можно показать, что

Тогда уравнение (6.27) принимает вид

где обозначает действительную часть от

Это уравнение известно как общий закон интерференции стационарных оптических полей, или как общий закон интерференции для частично когерентного света. Важно, что он позволяет вычислить по экспериментально измеренным значениям. Для представления выбранной пары точек поля освещенности используется, как и на рис. 6.7, экран с расположенными на нем определенным образом точечными отверстиями. Интенсивность измеряется в разных положениях Р, соответствующих определенному диапазону т. Также измеряется интенсивность в Р от каждого из точечных отверстий в отдельности . Эти три величины дают для каждого значения :

Точный смысл становится более ясным, если записать в виде

где рассматривается как обобщенный фазовый угол между полями в Р. Тогда мы можем записать:

где - фазовый угол, обусловленный только внутренней разностью хода между .

Действительную часть в уравнении (6.34) можно теперь выразить как

и уравнение (6.32) принимает вид

Его сходство с уравнением (1.01) теперь еще больше, и путем сравнения этих уравнений становится очевидным, что если величина равнялась бы своему предельному значению, единице, то интенсивность в Р была бы такой же, как в случае идеального монохроматического света с разностью фаз между волнами в С1 и С2. При таких условиях поле излучения в С1 и С2 должно быть когерентно. Если величина равна другому своему предельному значению, нулю, то последний член в уравнении (6.37) отсутствует, интерференция отсутствует,

поле излучения в C1 и С2 некогерентно и наблюдаемая интенсивность является простой суммой независимых интенсивностей от С1 и С2. Что наиболее важно, промежуточные условия, т. е. частичная когерентность, могут быть количественно охарактеризованы с помощью величины называемой степенью взаимной когерентности.

Это представление приводит к удобной эквивалентной трактовке частичной когерентности как смеси когерентного и некогерентного света с отношением интенсивностей

Однако нужно хорошо помнить о статистической в своей основе природе физического явления, которое моделируется этим подходом в целом.

Возвращаясь к уравнению (6.37), отметим, что мы до сих пор еще не видели, каким образом можно получить модуль и аргумент из экспериментальных измерений; у нас два неизвестных и только одно уравнение. Оценим вновь наше положение. Вначале для получения общей картины был постулирован источник, являющийся протяженным как в пространстве, так и по спектру. Все наши рассуждения до сих пор учитывали это, и в результате различные уравнения относительно не имеют ограничений по отношению к когерентности освещенности. Теперь вернемся к рис. 6.7 и проведем сравнение различных точек С 1 и С 2 в выборочной плоскости. Ясно, что эта схема в особенности чувствительна к пространственной (поперечной) когерентности. Для получения связи с наблюдаемыми величинами разумно рассмотреть случай, когда временная когерентность не вносит искажений (разд. 6.4.1). Функция особенно удобна для изучения временной когерентности, поскольку она характеризует степень сохранения фазовых соотношений для отдельных волновых углов.